Задача 381 ВМО

[Red_Herring]

g______d в сообщении #864711 писал(а):

Сейчас мне кажется, что окружностей может быть четыре, две внутри и две снаружи :( Явно надо что-то исключать, как раз наверное из-за ориентаций.

На самом деле это все же не окружности, а дуги окружностей. Например при $A'B'=AB$ следует взять только ту часть окружности, проходящей через $A,B,O$, которая внутри основной окружности. Тут есть "окружность" из которой мы видим $AB$ под углом 0 (т.е. бесконечно удаленная точка, которую мы в конце концов не считаем). Но если треугольник близкий к равностороннему, то мы получим конечные но большие окружности

[g______d]

Да, четыре дуги. А в случае равенства отрезков, действительно, две из них уйдут на бесконечность, а две остальные совпадут.

Тем не менее, я подозреваю, что если их все нарисовать для достаточно общего треугольника, то среди точек пересечения найдутся 8 с "правильной" ориентацией.

[Red_Herring]

С шестью точками все ясно:

Рассмотрим вписанный в окружность $K$ близкий к равностороннему треугольник со сторонами $a_1,a_2,a_3$ и соответствующими дугами $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$.

Рассмотрим перестановку $(b_1,b_2,b_3)$ тройки $a_1,a_2,a_3$ и соответствующую перестановку $(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ тройки $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$.

Для каждой такой перестановки и каждого $j=1,2,3$ рассмотрим окружность $k_j$, состоящую из точек, из которых сторона $a_j$ видна под углом $(\alpha_j+\beta_j)/2$. Для любой перестановки $\sigma=(b_1,b_2,b_3)$ три окружности пересекаются в одной точке $P_\sigma$. Если все числа $a_1,a_2,a_3$ различны, и все числа $\alpha_j+\beta_j$ также различны, то все точки различны.


Надо подумать о двух внешних точках

[Red_Herring]

Рассмотрим одну из двух циклических перестановок, и для $j=1,2,3$ рассмотрим две большие дуги из точек которых $a_j $видна под углом $|\beta_j-\alpha_j|/2$. Тогда мы возьмем ту большую дугу $k_j$, точки которой из $a_j$ делают $b_j$. Эти 3 дуги пересекутся в одной точке.

Для каждой из двух циклических подстановок получаем по одной точке предполагая, что среди чисел $\beta_j-\alpha_j$ нет равных.

[nnosipov]

Цитата:

Дан треугольник $ABC $ вписанный в окружность с центром $O$. Возьмем произвольную точку $P$ и проведем прямые $PA$, $PB$, $PC$. Пусть $A'$, $B'$, $C'$ вторые точки пересечения этих прямых с окружностью.

Доказать, что имеется не более восьми положений точки P, при которых треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ равны.

Вторая точка пересечения прямой с окружностью считается ли отличной от первой? Если нет, то ещё плюс три точки, итого 11 искомых точек $P$. Кстати, все они рационально выражаются через вершины $A=z_1$, $B=z_2$, $C=z_3$ исходного треугольника (здесь $z_k$ --- комплексные числа, по модулю равные единицы). Выражения не слишком громоздкие, вот одно из самых длинных

$$ {\frac {-z_{{3}}{z_{{2}}}^{2}z_{{1}}+{z_{{3}}}^{2}{z_{{2}}}^{2}+{z_{{2 }}}^{2}{z_{{1}}}^{2}-z_{{3}}{z_{{1}}}^{2}z_{{2}}-z_{{2}}{z_{{3}}}^{2}z _{{1}}+{z_{{1}}}^{2}{z_{{3}}}^{2}}{z_{{3}}{z_{{2}}}^{2}+{z_{{1}}}^{2}z _{{2}}-3\,z_{{3}}z_{{1}}z_{{2}}+{z_{{3}}}^{2}z_{{1}}}} $$

(таких две штуки).

Заглянул в оригинальное условие задачи --- там сказано, что все вершины нового треугольника должны отличаться от $A$, $B$, $C$. В этом случае восемь.

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #865900 писал(а):

Вторая точка пересечения прямой с окружностью считается ли отличной от первой? Заглянул в оригинальное условие задачи --- там сказано, что все вершины нового треугольника должны отличаться

Да, конечно.