Найти момент инерции

[TamaGOch]

момент инерции однородной дуги L плотности $p$, относительно оси Ox
$L: \sqrt x + \sqrt y = \sqrt a$
$0 \leqslant x \leqslant a$
вычисляю по формуле $I_x = \int\int_L{py^2}dL$
$y = (\sqrt a - \sqrt x)^2 = a + x - 2\sqrt{ax}$
$dL = \sqrt {1+(1-\frac{\sqrt a}{\sqrt x})^2}dx$
$p\int_{0}^{a}(\sqrt a - \sqrt x)^4\sqrt {1+(1-\frac{\sqrt a}{\sqrt x})^2}dx$
Прошу подсказать, правильно ли всё до интеграла? проблема в том, что вычислить интеграл не получается

[svv]

Да, правильно.
Но у Вас не так всё плохо получается. Возьмите $x=at^2$.

[TamaGOch]

svv, спасибо! Дошёл до такого интеграла
$2pa^3\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sqrt{1+z^2}}{(1+z)^7}}dz$
если не трудно, могли бы подсказать, в каком направлении двигаться, чтобы взять его?

[svv]

Размерный множитель $pa^3$ я писать не буду, он всюду подразумевается. Всё остальное безразмерное и равно примерно 0.347372. (Отсюда и совет: если что не так, проверяйте с помощью Вольфрама или чего-то другого, чтобы после каждого преобразования интеграл был равен этому числу).

Вы применили подстановку $x=at^2$. Должно было получиться
$2\int\limits_0^1 (1-t)^4 \sqrt{1-2t+2t^2}\;dt$
Далее полагаете $t=\frac {1+u}2$. Получается
$\frac{\sqrt 2}{32}\int\limits_{-1}^1 (1-u)^4 \sqrt{1+u^2}\;du$
Раскрываете $(1-u)^4$, нечетные степени $u$ выбрасываете (интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю). Осталась четная функция. Перейдите к пределам от $0$ до $1$, скомпенсировав это домножением на $2$. Приведите подинтегральную функцию к виду $\frac{P(u)}{\sqrt{1+u^2}}$, где $P(u)$ — полином шестой степени от $u$ с только четными степенями.
Первообразную ищите методом неопределенных коэффициентов в виде
$Q(u)\sqrt{1+u^2}+A\int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}$,
где $Q(u)$ — полином пятой степени от $u$ с нечетными степенями.

[TamaGOch]

svv, спасибо!