Центр группы

[nosochego]

Добрый день.
Надо найти центр группы $SL_2(\mathbb{Z} /5 \mathbb{Z})$.

Пока что нашел то, что центром группы являются матрицы $E$ и $-E$.
$E$ - единичная матрица, соответственно она же является и единичным элементом.
Попробовал умножить матрицу на скаляры, получил, что для числа $4( -1 \mod 5 = 4)$ полученная матрица также находится в этой группе, остальные матрицы в группе не находятся($2\cdot E, 3 \cdot E$)

Попытался найти центр группы в общем виде:
$A\cdot B = B \cdot A$, но в результате понял, что это тупиковый способ.

Не могли бы Вы подсказать адекватный способ нахождения центра этой группы?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[AV_77]

nosochego в сообщении #864419 писал(а):

остальные матрицы в группе не находятся($2\cdot E, 3 \cdot E$)

Как это у вас так получилось?

[nosochego]

Пусть $X, Y$ - элементы нашей группы.
$A$ - какая-то матрица
$E \cdot X = X \cdot E = X$ - определитель равен 1, матрица находится в нашей группе.
$2E \cdot X = X \cdot 2E = A$ - определитель не равен 1, матрица не находится в нашей группе.
$3E \cdot X = X \cdot 3E = A$ - определитель не равен 1, матрица не находится в нашей группе.
$4E \cdot X = X \cdot 4E = Y$ - определитель равен 1, матрица находится в нашей группе.

В разных строках $A$ и $Y$ являются разными матрицами, полученными от умножения двух элементов группы $SL_2(Z_5)$

Извините за несколько неявные пояснения, просто не придумал, как это еще показать.

[AV_77]

А, верно, там же $SL_2$. Ну тогда центр вы нашли.

[nosochego]

Найти-то я нашел.
Но как доказать, что не диагональные матрицы не содержатся в центре этой группы?
Собственно, это главный вопрос.
Почему только $\{E, -E\}$ является центром?

[AV_77]

Можно непосредственно вычислить. А можно заметить, что если $SL_2$ вместе с операцией сложения и умножения на скаляры, порождает все множество матриц $M_2$, так что если $A \in Z(SL_2)$, то $A \in Z(GL_2)$.

[nosochego]

Извините, я не понял.
При чем тут группа $GL_2$?
И что Вы имеете в виду под "вычислить"?
Умножать матрицы с абстрактными элементами и т.д.?

[AV_77]

Из чего состоит центр $GL_2$ знаете? Центр $SL_2$ - его подгруппа.

[nosochego]

Насколько я знаю $SL_2$ является подгруппой группы $GL_2$
Центр $GL_2$, если не ошибаюсь, тоже является $\{E, -E\}$.
Но как его найти я не знаю.

[patzer2097]

nosochego в сообщении #864567 писал(а):

Центр $GL_2$, если не ошибаюсь, тоже является $\{E, -E\}$.

ошибаетесь, центр этой группы -- все матрицы вида $\lambda E$

nosochego в сообщении #864567 писал(а):

Но как его найти я не знаю.

сначала опишите матрицы, перестановочные с матричной единицей $E_{ij}$

[nosochego]

Цитата:

сначала опишите матрицы, перестановочные с матричной единицей $E_{ij}$

У меня получилось, что матричная единица $E_{ij}$ перестановочна только сама с собой.

[patzer2097]

nosochego в сообщении #864797 писал(а):

У меня получилось, что матричная единица $E_{ij}$ перестановочна только сама с собой.

Ну Вы даете. Попробуем еще раз.
Что такое, по-Вашему, матричная единица $E_{ij}$ и что происходит с матрицами при умножении их на $E_{ij}$?

[nosochego]

Определение с википедии:
$E_{i,\,j}$, означает «матричная $i,j$-единица», то есть матрица, у которой на месте $i,j$ стоит единица, а на остальных местах — нули.

$\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&b\\0&0 \end{pmatrix}$

Т.е. у меня получилось, что матрица поворачивается, а одна строка или столбец обнуляется.

Добавлено:
Перестановочны не те же матрицы, а матрицы вида $\lambda E_{i, j}$