Произведение последовательных простых

[Ktina]

При каких натуральных $k$ число 10...01 ($k$ нулей) представимо в виде произведения нескольких последовательных простых чисел?

[green_orange]

Частные случаи

[ИСН]

У Вас есть тайные соображения, почему кроме $7\cdot 11\cdot 13$ там ничего не будет?

[Ktina]

ИСН
Есть, но только для чётных $k$

[Sonic86]

$10^k+1=p_r\cdot...\cdot p_s$
$10^k+1\not\equiv 0\pmod {2;3;5}\Rightarrow p_r\geqslant 7$
Возможны 2 случая: $k$ либо имеет либо не имеет нечетный делитель.
1) Пусть $k$ имеет нечетный делитель. Тогда
$10^k+1\equiv 0\pmod {11} \Rightarrow p_r\leqlsant 11\leqslant p_s$
$k=1;3$ относятся к этому случаю и удовлетворяет условию задачи.
$k=2;4$ не относятся к этому случаю.
$k\geqslant 5\Rightarrow 10^k+1\geqslant 100001> 17017=p_4p_5p_6p_7\Rightarrow p_s\geqslant 17$ $ \Rightarrow 10^k+1\equiv 0\pmod{13;17}$
$10^k\equiv -1\pmod{13}\Leftrightarrow k\equiv 3\pmod{6}\Rightarrow k\equiv 1\pmod{2}$
$10^k\equiv -1\pmod{17}\Leftrightarrow k\equiv 8\pmod{16}\Rightarrow k\equiv 0\pmod{2}$
Противоречие. Таким образом, случаю 1) соответствуют только решения $k=1;3$
2) $k$ не имеет нечетных делителей $\Rightarrow k=2^m$.
При $k=s$ имеем проблемы определения, когда обобщенные числа Ферма являются простыми. Решайте сами эту проблему.

(Оффтоп)

Дальше трава слабовата. Особенно доставляет тот факт, что получаемые числа попарно взаимно просты.

upd: можно попытаться доказать для делящих чисел аналог сравнения по модулю $2^{m+2}$, м.б. это что-то и даст...

[Shadow]

Sonic86, ваше доказательство с делимосью на 11 валидно только для нечетных $k$ (а не для имеющие нечетный делитель). Для четных можно сказать, что $10^k+1$ - сумма взаимнопростых квадратов и не имеет простой делитель $4n+3$

-- 17.05.2014, 21:54 --

но проблемму не решает

-- 17.05.2014, 22:22 --

Для четных можно что-то замутить с делимостью на 101,17,73 и близкие к ним простые вида $4n+3$, но для $k=2^m$ ничго хорошего не вижу.

[Sonic86]

Shadow в сообщении #864549 писал(а):

Sonic86, ваше доказательство с делимосью на 11 валидно только для нечетных $k$ (а не для имеющие нечетный делитель).

Точно, я дибил
Попробую попозже.

upd: в таком случае можно делать так: брать $k=2^mt$, выбирает конкретное натуральное $m$ и решать задачу для него. Частично поможет, полностью - не факт.