К проблеме Гольдбаха

[Cash]

vlgrig_39 в сообщении #862574 писал(а):

Мне удалось доказать, что Минимальная Оценка Количества представлений четного числа $X$ есть целая часть числа, равного корню квадратному из $X$, деленному на 4. Для чисел $X$ = 60, 118, 1000, 1000000, 400000000 значения $MOK(X)$ равны, соответственно, 1, 2, 7, 250, 5000

То есть Вы доказали гипотезу Гольдбаха? Позвольте усомниться...

[Deggial]

vlgrig_39, формулы оформляйте человеческим образом. Вот такое:

vlgrig_39 в сообщении #862574 писал(а):

$y_k$=7

vlgrig_39 в сообщении #862574 писал(а):

5 + 113

vlgrig_39 в сообщении #862574 писал(а):

$X$ = 60, 118, 1000, 1000000, 400000000

оформлять следует всегда и целиком, а не кусками.
В случае неоформления утащу тему в Карантин.

[vlgrig_39]

Для нахождения сумм Гольдбаха вручную предлагается следующий алгоритм.

1. Для заданного четного числа $X$ выписать суммы нечетных чисел равные $X$, начиная с суммы $3+(X-3)$ и заканчивая суммой $X/2 + X/2$.

2. Найти наибольшее нечетное число $y_k$, квадрат которого $y^2_k$ меньше $X$.

3. Просматривать полученные суммы и зачеркивать те из них, в которых хотя бы одно из слагаемых кратно нечетным числам 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ..., $y_k$. Пропускать те значения $y_j$, которые кратны ранее использованному значению $y_i$, $i < j$, например пропустить значения $y_j=9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55$ и т.д. Могут быть ошибочно зачеркнутые суммы: $3 + (X-3)$, если число $(X-3)$ простое, $5+(X - 5)$, если число $(X - 5)$ простое и др.

4. Оставшиеся незачеркнутыми суммы есть представления числа $X$ суммами двух простых чисел.

Например, для $X=60$ значение $y_k=7$ и незачеркнутыми останутся суммы 13 + 47, 17 + 43, 19 + 41, 29 + 31, а сумма 7 + 53 зачеркнута ошибочно; для $X=118$ значение $y_k=9$ и незачеркнутыми останутся суммы 11 + 117, 17 + 101, 29 + 89, 47 + 71, 59 + 59, а сумма 5 + 113 зачеркнута ошибочно.

Примечания

1. В системе Delphi алгоритм проверен до максимального числа $Xmax=400000000$, при этом первая незачеркнутая сумма 20129 + 399979871, ошибочно зачеркнуто 199 сумм (первые слагаемые незачеркнутых сумм 41, 53, 107, ..., 19319, 19553, 19739), Точное Количество представлений числа $Xmax$ суммами двух простых чисел равно $TK(Xmax)=999700$. Расхождение в процентах между $TK(Xmax)$ и количеством незачеркнутых сумм составляет 0.02 процента, причем это расхождение с ростом $X$ убывает.

2. Мне удалось доказать, что Минимальная Оценка Количества представлений четного числа $X$ есть целая часть числа, равного корню квадратному из $X$, деленному на 4. Для чисел $X=60, 118, 1000, 1000000, 400000000$ значения $MOK(X)$ равны, соответственно, 1, 2, 7, 250, 5000.

[DenCoder]

А не рассматривался такой способ?

Пусть 2n - чётное число, $n \geqslant 3 $, $(n + d)$ и $(n - d) $ - простые числа, в сумме дающие 2n. Из теста на простоту:
$a^{n - d - 1} = x_1 \cdot (n - d) + 1 $
$a^{n + d - 1} = x_2 \cdot (n + d) + 1 $
Откуда $a^{2n - 2} = (x_1 \cdot (n - d) + 1)\cdot(x_2 \cdot (n + d) + 1)$
Решая уравнение, получаем
$d = \frac{(x_2 - x_1) \pm \sqrt{(x_1 + x_2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot n)^2 - x_1 x_2 a^{2 n}}}{2\cdot x_1 \cdot x_2}$
или
$d = \frac{(x_2 - x_1) \pm \sqrt{(x_1 + x_2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot n)^2 - a^{2 n - 2}}}{2\cdot x_1 \cdot x_2}$

Проблема только разрешимости $(x_1 + x_2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot n)^2 - a^{2 n - 2}$ в целых числах и множестве значений a. Но, возможно, это можно улучшить. Например, вместо a подставить 2, и в случае нахождения d провести дополнительно полны тест $(n - d)$ и $(n + d)$

[DenCoder]

Поправка:

$d = \frac{(x_2 - x_1) \pm \sqrt{(x_1 + x_2 + 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot n)^2 - x_1 x_2 a^{2 n}}}{2\cdot x_1 \cdot x_2} \not = \frac{(x_2 - x_1) \pm \sqrt{(x_1 + x_2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot n)^2 - a^{2 n - 2}}}{2\cdot x_1 \cdot x_2}$
В черновиках запутался.

Соответственно, проблема разрешимости в целых у
$(x_1 + x_2 + 2 x_1 x_2 \cdot n)^2 - x_1 x_2 a^{2 n}$