Не очень понимаю, зачем тут вообще какие-то интегралы; сказано же, что смещение мало.
Почему вообще распределение зарядов на внутренней сфере нетривиально? Потому, что её смещение индуцирует перераспределение зарядов на
внешней сфере, которые уже, в свою очередь, перераспределяют заряды на внутренней. Ясно, что поправка к "равновесному" распределению

на внутренней сфере в первом приближении имеет вид

, и надо лишь определить, что такое

.
Что ж; при

заряды на внешней сфере перераспределяются в первом приближении так, как если бы на расстояние

сместился просто точечный заряд

. Это эквивалентно (по методу отражений) появлению далеко-далеко, на расстоянии

от центра внешней сферы, точечного заряда

(за знаками не следим -- проще в самом конце выбрать правильный). Последний, в свою очередь, перераспределяет заряды на внутренней сфере так, как если бы внутри неё, на малом расстоянии

от её центра, появился заряд

. Тогда

, где

-- это величина полусуммы напряжённостей, создаваемых зарядами

и

в двух точках пересечения внутренней сферы и линии, соединяющей эти заряды (полуразность нас не интересует, т.к. она отвечает за

). Заряд

создаёт полусумму, равную просто

(в первом приближении, естественно); вклад от заряда

на порядок меньше, т.к. пропорционален

. Итого:

.