Самосопряжённое преобразование в пространстве функций

[tech]

Здравствуйте.
В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке $[-1,1]$, функциям $f$ и $g$ сопоставляется число
$(f,g)=\int\limits_{-1}^{1} f(t)g(t)dt$
Доказать, что этим определено скалярное произведение (эту часть задачи я выполнил).
Далее, преобразование $\varphi$ данного евклидового пространства задано формулой
$\varphi(f)(y)=\int\limits_{-1}^{1} K(x,y)f(x)dx$, где $K: [-1,1]\times [-1,1] \to R$ – непрерывная функция. При каком условии на $K$ преобразование $\varphi$ является самосопряженным?
Единственное, что понятно – действовать нужно как-то по определению самосопряженного преобразования (ибо о матрицах здесь речи быть не может, ведь пространство непрерывных функций бесконечномерное, так?)
$(\varphi(f),\ g)=(f,\ \varphi(g))$
Но манипуляции с интегралами и подстановки их в формулу скалярного произведения пока что ни к чему не привели.
Подскажите, пожалуйста, что здесь можно сделать, чтобы подойти к ответу на вопрос?

[Otta]

tech в сообщении #863555 писал(а):

Единственное, что понятно – действовать нужно как-то по определению самосопряженного преобразования (ибо о матрицах здесь речи быть не может, ведь пространство непрерывных функций бесконечномерное, так?)
$(\varphi(f),\ g)=(f,\ \varphi(g))$
Но манипуляции с интегралами и подстановки их в формулу скалярного произведения пока что ни к чему не привели.
Подскажите, пожалуйста, что здесь можно сделать, чтобы подойти к ответу на вопрос?

Приведите манипуляции.

[ewert]

tech в сообщении #863555 писал(а):

(ибо о матрицах здесь речи быть не может,

Очень даже может. В том смысле, что условие симметричности здесь внешне выглядит ровно так же, как и для матриц, и ровно по тем же причинам (ровно настолько, насколько понятие интегрирования является обобщением понятия суммирования).