Факторкольцо

[Mary84]

При каких $a$ факторкольцо $\matthb{Z}/7\matthb{Z}[x]/(x^2+a)$ является полем?

Поле - это ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный.

Перечислим все возможные полиномы (в качестве коэффициента берём элементы из $ \matthb{Z}/7\matthb{Z}$).

$1. x^2$
$2. x^2+1$
$3. x^2+2$
$4. x^2+3$
$5. x^2+4$
$6. x^2+5$
$7. x^2+6$

Теперь нужно проверить, какие из полиномов являются неприводимыми. Элемент, по которому мы строим факторкольцо $(x^2+a)$ является нулевым в этом факторкольце. Поэтому если он разложим на множители это означает наличие делителей нуля в факторкольце$\Rightarrow$ оно не является полем. Т.к. у нас полиномы 2-й степени, отсутствие корней будет означать неприводимость полинома.

Полагаю, что в качестве иксов нужно тоже подставлять элементы из $ \matthb{Z}/7\matthb{Z}$. Я не уверена в этом, скажите пожалуйста, если это неправильно. Операции проводим по модулю 7.

$1. x^2=0 \quad (x=0)$

$2. x^2+1=0$ (нет делителей 0)
$x^2 = -1$
$x^2 = 6$

$3. x^2+2=0$ (нет делителей 0)
$x^2 = 2$
$x^2 = 5$

$4. x^2+3=0$
$x^2 = -3$
$x^2 = 4$
$x= 2$

$5. x^2+4=0$ (нет делителей 0)
$x^2 = -4$
$x^2 = 3$

$6. x^2+5=0$ (нет делителей 0)
$x^2 = -5$
$x^2 = 2$


$7. x^2+6=0$
$x^2 = -6$
$x^2 = 1$
$x= 1$

Неприводимости полинома достаточно, чтобы показать что факторкольцо будет полем? Наверное, нужно построить таблицы (сложения, умножения)? Помогите,пожалуйста, разобраться.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #863173 писал(а):

Полагаю, что в качестве иксов нужно тоже подставлять элементы из $ \matthb{Z}/7\matthb{Z}$

Почему бы и нет, поле крохотное, можно и перебором.

Кстати, те $b=-a \neq 0$, для которых уравнение $x^2=b$ имеет решения в поле вычетов по модулю $p$, называются квадратичными вычетами по модулю $p$. Известно, что таких $b$ имеется ровно $(p-1)/2$. Для $p=7$ получим $3$ квадратичных вычета. А у Вас почему-то $4$. Проверьте вычисления.

Mary84 в сообщении #863173 писал(а):

Неприводимости полинома достаточно, чтобы показать что факторкольцо будет полем?

Да, достаточно. Теорема такая есть, найдите её в учебнике или в конспекте лекций (должна быть).

[Mary84]

Да, конечно, их должно было получиться 3 .

1. $\left (\frac{1}{7} \right ) = 1$

2. $\left (\frac{2}{7} \right ) =(-1)^{(7^2-1)/8}=(-1)^{48/8}=(-1)^6=1 $

3. $\left (\frac{3}{7} \right ) =(-1)^{((3-1)/2) \cdot ((7-1)/2)}\left ( \frac{1}{3}\right ) = (-1)^3 = -1 $

4. $\left (\frac{4}{7} \right ) =\left (\frac{2}{7} \right )^2 = 1$

5. $\left (\frac{5}{7} \right ) =(-1)^{((5-1)/2) \cdot ((7-1)/2)}\left (\frac{2}{5} \right ) =(-1)^6 (-1)^{(5^2-1)/8}=(-1)^{3}=-1 $

6. $\left (\frac{6}{7} \right ) =\left (\frac{-1}{7} \right ) = (-1)^{(7-1)/2}=(-1)^3=-1$

-- 14.05.2014, 16:26 --