Рекуррентность.

[firex]

Помогите решить:
$S_0 = 0 $
$S_1 = 1 $
$S_{2n+1} = S_{n-1} + n + 1 +\frac{n(n+1)}{2} $
$S_{2n} = S_{n-1} + n + \frac{(n-1)n}{2} $
Пробовал методом который в "Конкретная математика" кнута, не получилось.
Уж слишком много параметров получается если обобщать рекуррентность.

От модератора AD:
Если кто не заметил, это тема номер 10000

[незваный гость]

Попробуйте доказать, что $ \forall n = 2^k-2 \ S_n = \frac{n(n+1)}{6}$, $\forall n = 2^k-3 \ S_n = \frac{(n+1)(n+2)}{6} $, и $\frac{n(n+1)}{6} < S_n < \frac{(n+1)(n+2)}{6}$ для остальных.

Если проанализировать, можно увидеть узоры, возникающие при удваивании $n$ в $6S_n-n(n+1)$ (с соответствующим сдвигом). Это, в целом, соответствует идее разложения $n$ в околодвоичной системе счисления (что-то типа $n = \sum d_k (2^k-2)$). Впрочем, это уже догадки…

[незваный гость]

незваный гость писал(а):

Это, в целом, соответствует идее разложения $n$ в околодвоичной системе счисления

А ещё вернее — представлению $n+2$ в двоичной системе.

[Yuri1111]

Разница $f(n) = S_{n} - S_{n-1}$ удовлетворяет соотношению: $f(2^k^+^1*m + 2^k - 2) = m, k>=0$
Дальше - сами.

[firex]

Yuri1111 писал(а):

Разница $f(n) = S_{n+1} - S_{n}$ удовлетворяет соотношению: $f(2^k^+^1*m + 2^k - 2) = m, k>=0$
Дальше - сами.

А как мне например 11 записать в таком виде?

[Yuri1111]

firex писал(а):

Yuri1111 писал(а):

Разница $f(n) = S_{n} - S_{n-1}$ удовлетворяет соотношению: $f(2^k^+^1*m + 2^k - 2) = m, k>=0$
Дальше - сами.

А как мне например 11 записать в таком виде?

$k=0, m=6$
Кроме того, я исправил индекс у $S_{n}$ в определении функции $f(n)$ на единицу вниз (см. исправленный пост) - сорри, опечатался...

[Альберт120446]

Начало решения :
1. Увеличить на единицу индекс четвертого выражения.
2. Из полученного выражения вычесть третье, в итоге получим линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка с заданными начальными условиями, при этом
корень = 1.

[Альберт120446]

Решение выше отменить...

Добавлено спустя 2 часа 42 минуты 53 секунды:

(продолжение)
П.2 читать в редакции - ...линейное однородное разностное уравнение первого порядка
S(n) - S(n-1) = 0
которому начальные условия не удовлетворяют. Вывод: решения нет.

[незваный гость]

Альберт120446 писал(а):

Вывод: решения нет.

Здорово! А если ручками: 0, 1, 2, 4, …

[Альберт120446]

Действительно интересно, и не тем,что Ваше ручное решение - 0, 1, 2, 4.."не катит", так как , при n = 1 по формуле (4) получаем
S(2) = S(0) + 1 + 0 = 1
по формуле (3) соответственно,
S(3) = S(0) + 1 + 1+ 1= 3
и продолжая ручками, такой ряд 0,1,1,3,4,7... (с точностью до арифметической ошибки). А тем,что "не катит" и мой прием, связанный с изменением индекса на единицу, поэтому и мой ответ об отсутствии решения не справедлив.
Как быть? Если исключить из (3) и (4) первое слагаемое, то приходим к неоднородному разностному уравнению
S(2n+1) - S(2n) = 1+ n
которое я озадачился классифицировать и решать в аналитике, во всяком случае, с ходу...

[незваный гость]

Альберт120446 писал(а):

не тем,что Ваше ручное решение

Интегралы што! дробя вот заедает!

[Альберт120446]

По-видимому, решать надо как систему двух разностных уравнений первого порядка с двумя заданными начальными условиями...

[незваный гость]

А Вы график порисуйте… Очень всё станет наглядно.

И посмотрите выше, здесьи здесь.