Найти мат. ожидание случайной дискретной величины

[jokeyjoke]

Пусть $n$ - случайная дискретная величина, принимающая значения больше 100, такая что:

$P(n=k)=\frac{C}{k(k-1)(k-2)}}$

где $C$ - некая константа

Найти ее мат. ожидание.

Как я делал.

$M(k)=$$\int\limits_{100}^{\infty} \frac{C}{k(k-1)(k-2)}} k dk$

Т.к. $k$ больше нуля, то я сократил $k$ в числителе и знаменателе.

Осталось:

$M(k)=$$\int\limits_{100}^{\infty} \frac{C}{(k-1)(k-2)}} dk$

Для интегрирования я представил дробь в виде:

$\frac{1}{k(k-1)(k-2)}}=\frac{A}{(k-1)}}+\frac{B}{(k-2)}}$

Далее нашел $A=-1$ и $B=1$

Взял интеграл:

$M(k)=$$\int\limits_{100}^{\infty} \frac{-C}{(k-1)}} dk$+\int\limits_{100}^{\infty} \frac{C}{(k-2)}} dk$

Получаю, что

$M(k)=-$С[ln(\infty-1)-ln99)]+C[ln(\infty-2)-ln98]+K$

где $K$ - еще одна константа


Два логарифма с бесконечностями должны уничтожиться?

[ИСН]

"Послушайте, Вы тот самый парень, который приходил вчера и спрашивал рыбьи сердца."
topic84199.html

-- менее минуты назад --

Ну и это. По существу. Вы слово "дискретная" из условия просто выкинули как непонятное?

[Lia]

jokeyjoke
Аналогичное задание обсуждается здесь: topic84199.html
Было бы хорошо не дублировать если не вопрос, то обсуждение, по крайней мере.

[ИСН]

Это философский вопрос - когда неопределённому кругу студентов дают похожие задания, отличающиеся одним числовым параметром, то должны ли они все, приходя на форум, находить тему того, кто первый сюда пришёл (и как находить-то, кстати?) и валить в неё? Или это будет захватом чужой темы? Или обратное будет дублированием?

[jokeyjoke]

Ok. Хорошо. Посмотрю, как там идет процесс.

[jokeyjoke]

Итак, продолжим решение (хоть в соседней теме почти то же, но я продолжу то, где там остановились).


$a_k = \frac {C}{(k+1)(k+2)} = \frac {1C}{(k+1)} - \frac {1C}{(k+2)} $
$a_{k-1} = \frac {1C}{(k)} - \frac {1C}{(k+1)}$
$a_{101} = \frac {1C}{102} - \frac {1C}{103}$
$a_{102} = \frac {1C}{103} - \frac {1C}{104}$
$a_{103} = \frac {1C}{104} - \frac {1C}{105}$
Теперь составим частичную сумму ряда:
$S_{k} = a_6 + a_7 + a_8 + ... + a_{k-1} + a_k = \frac {C}{102} - \frac {C}{(k+2)}$
Сумма ряда:
$S = \lim_{k\to\infty} (\frac {C}{102} - \frac {C}{(k+2)}) = \frac {C}{102}$

Осталось выразить $C$ из выражения:
$1 = P(\xi) = \sum\limits_{k=101}^{\infty} \frac {C} {k(k+1)(k+2)} $

Собственно, с этого места.

$a_k = \frac {C}{k(k+1)(k+2)} = \frac {1C}{2k} - \frac {1C}{(k+1)}+\frac {1C}{2(k+2)}$

Теперь составим частичную сумму ряда:
$S_{k} = a_6 + a_7 + a_8 + ... + a_{k-1} + a_k = \frac {C}{202} - \frac {C}{102}+\frac {C}{204}+\frac {C}{2(k+2)}$

Сумма ряда:
$S = \lim_{k\to\infty} (\frac {C}{202} -\frac {C}{102}+\frac {C}{204}+ \frac {C}{(2(k+2)}) = \frac {C}{2\cdot101\cdot102}$

Учитывая, что это равно $1$, то:
$C=2\cdot101\cdot102\cdot$

Тогда ответ:
$M(x)=\frac {C}{102}=2\cdot101}=202$

[provincialka]

А почему минусы сменились на плюсы: было $P(n=k)=\frac{C}{k(k-1)(k-2)}$
стало $a_k = \frac {C}{(k+1)(k+2)} = \frac {1C}{(k+1)} - \frac {1C}{(k+2)} $

[jokeyjoke]

Пусть $\xi$ - дискретная случайная величина, принимающая целые значения большие 100, такая что $P(\xi = k) = \frac C {k(k+1)(k+2)} $, где C - некоторая константа. Найдите математическое ожидание (число без буквенных констант).

Сорри, условие изменилось=)

-- 13.05.2014, 23:39 --

А верно получилось?)

[Cash]

Да, верно.

[jokeyjoke]

Спасибо!