Мат.Ож

[aurus]

Пусть $\xi$ - дискретная случайная величина, принимающая целые значения большие 5, такая что $P(\xi = k) = \frac C {k(k+1)(k+2)} $, где C - некоторая константа. Найдите математическое ожидание (число без буквенных констант).

Задача лёгкая, но не знаю что делать с константой. Мои мысли:
Зная формулу для вероятности можно построить ряд распределения Сл.В.:
$ \begin{tabular}{ l | c | c | c | } \xi_i & 6 & 7 & 8 \\ \hline P_i & С/336 & C/504 & C/720\\ \end{tabular} $

Этот ряд можно продолжать до бесконечности. Можно ли в задаче подобрать константу $C$ ? так чтобы выполнялось:
$\sum_\text {i=1} {P_i } = 1$
Например, для предложенного ряда распределения $C = \frac {315} {2} $
Тогда легко посчитать:
$M(X) = 6 (\frac {\frac {315} {2}} {336}) + 7 (\frac {\frac {315} {2}} {504}) + 8 (\frac {\frac {315} {2}} {720}) = \frac {221} {32} = 6.906$
Насколько это корректно?

[arseniiv]

aurus в сообщении #862342 писал(а):

Можно ли в задаче подобрать константу $C$ ?

Собственно, если нельзя — это и не распределение вовсе.

-- Пн май 12, 2014 22:22:43 --

aurus в сообщении #862342 писал(а):

$M(X) = 6 (\frac {\frac {315} {2}} {336}) + 7 (\frac {\frac {315} {2}} {504}) + 8 (\frac {\frac {315} {2}} {720}) = \frac {221} {32} = 6.906$

А почему вы остановились на третьем слагаемом? Суммируйте все! (Правильность значения $C$ не проверял. Если вы его нашли по трём членам, то неправильно. Нужны все.)

[aurus]

arseniiv в сообщении #862357 писал(а):

А почему вы остановились на третьем слагаемом? Суммируйте все! (Правильность значения $C$ не проверял. Если вы его нашли по трём членам, то неправильно. Нужны все.)

Если суммировать всё:
$M(\xi) = \xi_1 \cdot p_1 + \xi_2 \cdot p_2 + \cdots + \xi_k \cdot p_k = \sum^{n}_{k=6}\xi_k \cdot p_k $
$p_k = \frac {C} {k(k+1)(k+2)}$
$\xi_k = k$
Тогда мат.ожидание:
$M(\xi) = \sum^{n}_{k=6} \frac {kC} {k(k+1)(k+2)} = \sum^{n}_{k=6} \frac {C} {(k+1)(k+2)} $
Чтобы найти сумму ряда, необходимо вычислить предел общего члена:
$\lim_{k\to\infty} \frac {C} {(k+1)(k+2)} = \lim_{k\to\infty} \frac {C} {(1+\frac {1}{k})(1+\frac {2}{k})} = \frac {C} {1 \cdot 1} = C$

Для вероятности имеем:
$P(\xi = k) = \sum^{n}_{k=6} \frac {C} {k(k+1)(k+2)} = 1 $
Предел общего члена ряда:
$P(\xi = k) = \lim_{k\to\infty} \frac {C} {k(k+1)(k+2)} = \frac {C} {1 \cdot 1 \cdot 1} = C $
Следовательно, можно выразить $C$ из равенства:
$P(\xi = k) = C = 1 $

В итоге имеем:
$P(\xi = k) = C = 1 $
$M(\xi) = C = 1 $
Боюсь, что это не правильно, т.к. нигде не учтены целые значения большие 5, да и ответ странный.

[ShMaxG]

aurus в сообщении #862342 писал(а):

Можно ли в задаче подобрать константу $C$ ?

Ее надо не подбирать, а вычислять. Из условия, что перед вами действительно распределение, т.е. сумма всех вероятностей равна 1.

aurus в сообщении #862513 писал(а):

Чтобы найти сумму ряда, необходимо вычислить предел общего члена:

Причем тут предел общего члена? Вам нужно вычислить ряд. Для этого в ряде мат. ожидания разбейте общий член на два слагаемых, а общий член в сумме всех вероятностей разбейте на три слагаемых.

[Otta]

aurus в сообщении #862513 писал(а):

Для вероятности имеем:
$P(\xi = k) = \sum^{n}_{k=6} \frac {C} {k(k+1)(k+2)} = 1$

Нет, не имеем. В левой части что-то несусветное стоит, а в правой суммируются все вероятности от значения $6$ до значения $n$. А в условии где-то есть это $n$? или там иначе?

[Cash]

aurus в сообщении #862513 писал(а):

Тогда мат.ожидание:
$M(\xi) = \sum^{n}_{k=6} \frac {kC} {k(k+1)(k+2)} = \sum^{n}_{k=6} \frac {C} {(k+1)(k+2)}
$

Не надо останавливаться на $n$ - суммируйте до конца:
$M(\xi) = \sum\limits_{k=6}^{\infty} \frac {C} {(k+1)(k+2)}$
Такая сумма находится разбиением дроби на простейшие.
Например, нужно найти
$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac {2} {k(k+2)}$
Раскладываем дробь $\frac {2} {k(k+2)} $на простейшие:
$\frac {2} {k(k+2)}=\frac1k-\frac1{k+2}$
$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac {2} {k(k+2)} = (\frac11-\frac13)+(\frac12-\frac14)+(\frac13-\frac15)+(\frac14-\frac16)+ \cdots=\frac11+\frac12 = \frac32$

Но сперва Вам нужно сформулировать условие на $C$ из равенства

$1=\sum\limits_k P\{\xi=k\}$

[jokeyjoke]

Я правильно понимаю, что интеграл берется только на пределах от минус до плюс бесконечности?

[Otta]

Какой интеграл?

[ИСН]

Примерно так же, как любая крупа варится полчаса, у любой жидкости плотность 1, а у любого твёрдого тела - 2.5.
А к чему Вы об этом вспомнили?

[jokeyjoke]

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $f(x)$, равно

$M(k)=$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \xf(x)dx$

[provincialka]

Из пушки по воробьям. Название, конечно, красивое, но как это поможет?

[Cash]

Намёк ИСН из снесённой темы про ключевое слово дискретный Вы мимо ушей пропустили?

[jokeyjoke]

Все, понял.

У меня не непрерывная функция.

[Lia]

Cash в сообщении #862725 писал(а):

Намёк ИСН из снесённой темы про ключевое слово дискретный Вы мимо ушей пропустили?

Тема жива. post862682.html#p862682

[aurus]

Cash в сообщении #862599 писал(а):

Не надо останавливаться на $n$ - суммируйте до конца:
$M(\xi) = \sum\limits_{k=6}^{\infty} \frac {C} {(k+1)(k+2)}$
...
Но сперва Вам нужно сформулировать условие на $C$ из равенства

$1=\sum\limits_k P\{\xi=k\}$

Напортачил с рядами, исправляюсь,суммирую до конца:
$M(\xi) = \sum\limits_{k=6}^{\infty} \frac {C} {(k+1)(k+2)}$
Разложим общий член ряда в сумму дробей, используя метод неопределённых коэффициентов:
$\frac {A}{(k+1)} + \frac {B}{(k+2)} = \frac {C}{(k+1)(k+2)}$

$A(k+2) + B(k+1) = 1C$

$ \begin{cases} A+B = 0\\ 2A+B=1C\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A= 1C\\ B=-1C\\ \end{cases}$
В результате:
$a_k = \frac {C}{(k+1)(k+2)} = \frac {1C}{(k+1)} - \frac {1C}{(k+2)} $
$a_{k-1} = \frac {1C}{(k)} - \frac {1C}{(k+1)}$
$a_{6} = \frac {1C}{7} - \frac {1C}{8}$
$a_{7} = \frac {1C}{8} - \frac {1C}{9}$
$a_{8} = \frac {1C}{9} - \frac {1C}{10}$
Теперь составим частичную сумму ряда:
$S_{k} = a_6 + a_7 + a_8 + ... + a_{k-1} + a_k = \frac {C}{7} - \frac {C}{(k+2)}$
Сумма ряда:
$S = \lim_{k\to\infty} (\frac {C}{7} - \frac {C}{(k+2)}) = \frac {C}{7}$
Правильный ход?
Осталось выразить $C$ из выражения:
$1 = P(\xi) = \sum\limits_{k=6}^{\infty} \frac {C} {k(k+1)(k+2)} $
Пока не получилось найти сумму этого ряда. Разберусь ещё, потом подставлю полученную константу в М.О. и получится ответ.