2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 21:30 
Требуется доказать следующее тождество: $\frac{\pi x \cos\pi x}{\sin\pi x} = 1 - 2\sum_{k \ge 1}\frac{x^2}{k^2 - x^2}$. Ясно, что пользуясь равенством $\frac{\sin\pi x}{\pi} = x \prod_{k \ge 1}(1 - \frac{x^2}{k^2})$ это вроде бы нетрудно сделать, прологарифмировав его и получив $\ln\sin\pi x - \ln\pi= \ln x + \sum_{k \ge 1}\ln(1 - \frac{x^2}{k^2})$. Затем продифференцировать его и получить $\frac{\pi\cos\pi x}{\sin\pi x} = \frac{1}{x} - \sum_{k \ge 1}\frac{2x}{k^2 - x^2}$. Остается неясным только обоснование тождества $\frac{\sin\pi x}{\pi} = x \prod_{k \ge 1}(1 - \frac{x^2}{k^2})$.

 i  Lia: при наборе обращайте внимание, что для стандартных функций предусмотрены стандартные команды и синус, например, пишется так:
\sin x. А не sin(x).
Также: буква сигма большая не используется как знак суммирования, для этого есть команда \sum. То же касается и операции произведения.
На первый раз формулы исправляю, в следующий раз делайте это сами.

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 21:31 
Про мероморфные функции слышали когда-нибудь?

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 21:33 
Нет, к сожалению.

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 21:35 
Тогда, боюсь, ничего и не выйдет.
Откуда на Вас свалилось это тождество без должной артподготовки?

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 21:37 
Первый курс, задача по дискретной математике. http://www.hse.ru/data/2014/04/18/13194 ... istok6.pdf

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 21:55 
А первое задание Вы сделали? Сведите к нему.

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 21:59 
Да, первое сделал. Но не понимаю, что Вы имеете в виду.

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 22:06 
Ну а вот теперь берите каждое слагаемое в правой части второго, раскладывайте в ряд, считайте сумму их всех... получится.

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 23:39 
Дошел до того, что остается нужным $1 -2(\Sigma_{n \ge 1}(\frac{z}{\pi})^{2n} + \Sigma_{n \ge 1}(\frac{z}{2\pi})^{2n} + \Sigma_{n \ge 1}(\frac{z}{3\pi})^{2n} + ...)$ свести к $1 + \Sigma_{n \ge 1}(-4)^n B_{2n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$, но тут я опять в тупике :-(

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение11.05.2014, 23:42 
Ну ряды группируются - видно как. И получается вполне приличный коэффициент.
А вот тут дальше проблема: я не знаю, что Вы знаете. :D

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение12.05.2014, 00:08 
Возможно я не правильно группирую, но вот, что у меня получается: $1 - 2(\Sigma_{n \ge 1}z^{2n}\Sigma_{k \ge 1}(\frac{1}{k\pi})^{2n})$

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение12.05.2014, 00:16 
Да вроде правильно (я сильно, правда, не вглядываюсь)... а $\pi$ Вам сильно внутри второго ряда нравится?

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение12.05.2014, 06:38 
Аватара пользователя
 i  LDIJNWCСуммы набирайте с помощью команды \sum\limits, иначе я снесу тему в Карантин.

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение12.05.2014, 20:33 
Нет, но не понимаю, к чему такой вопрос.

 
 
 
 Re: Тождество с формальными рядами
Сообщение12.05.2014, 20:46 
Ну так вынесите его, что оно в коэффициенте делает. А дзета-функция Вы тоже не знаете что такое?

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group