Верно ли, что если

не кратна

, то в какой-то точке окружности не равна нулю?
Да. Это частный случай Nullstellensatz.
Доказать можно так: в смежном классе
![$[f(x,y)]$ $[f(x,y)]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/2/7b2b86deb010bb7255deb0e56732b2ff82.png)
обязательно найдется многочлен, линейный по

(Стандартное рассуждение, деление с остатком: если все многочлены имеют степень по

больше 1, то возьмем тот, что с минимальной степенью и вычтем подходящий множитель

, получим меньшую степень. Противоречие).
Возьмем не равный нулю линейный по

многочлен

. Если

, то возьмем любую точку с координатой

, не являющейся корнем

. Если

, то возьмем некоторое

, не являющееся корнем

и не равное

и выберем из двух точек

ту, на которой линейная функция

не равна

.