Риманова поверхность

[Sicker]

А она однозначно выбирается для функции?
Вот скажем рассмотрим непрерывную функцию на плоскости, такую что $f(x,y)=f(x+an,y+bn)$
Тк эта функция взаимооднозначна, то можно сказать что ее риманова поверхность и будет нашей исходной плоскостью
Но также можно сказать, что риманова поверхность такой функции-тор
Тоже самое и для комплексной функции $ln(z^2-1)$
Для нее риманова поверхность неоднозначна?

[Sicker]

что никто не знает???

[Lia]

Sicker
Замечание за искусственный подъем темы.

[provincialka]

Sicker в сообщении #861798 писал(а):

Для нее риманова поверхность неоднозначна?

В каком смысле понимается "однозначность"? Задается с точностью до изоморфизма.

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #861798 писал(а):

А она однозначно выбирается для функции?
Вот скажем рассмотрим непрерывную функцию на плоскости, такую что $f(x,y)=f(x+an,y+bn)$
Тк эта функция взаимооднозначна, то можно сказать что ее риманова поверхность и будет нашей исходной плоскостью
...

Эта функция не "взаимооднозначна".

[Munin]

Sicker в сообщении #861798 писал(а):

Вот скажем рассмотрим непрерывную функцию на плоскости, такую что $f(x,y)=f(x+an,y+bn)$
Тк эта функция взаимооднозначна, то можно сказать что ее риманова поверхность и будет нашей исходной плоскостью
Но также можно сказать, что риманова поверхность такой функции-тор

Боюсь, вы не поняли определения римановой поверхности. К функциям на плоскости это понятие не применяется.

Риманова поверхность применяется к функциям на комплексной плоскости, и соотношения там другого вида: $f_1(z)=Gf_2(z),$ где $z$ принадлежит линии разреза, $f_{1,2}$ относятся к разным берегам разреза, а $G$ - некоторое групповое преобразование.

[Sicker]

Munin, я действительно не знаю точного определения римановой поверхности, как мне кажется
из прочитанного понял, что р.п.-это такое многообразие, где, по сравнению с обычной плоскостью(комплексной), наша функция однозначно определена
И никакой привязки к комплексности я не увидел
Вот скажем если взять многозначную функцию действительного переменного(в действительные числа же), то для нее тоже можно построить риманову поверхность
Вот скажем для функции $\arcsin(x)$ (многозначной)можно сказать, что она однозначно определена на отрезках, которые "гормошкой" склеены концами между собой и "сплюснуты" в линию
а ваше определение не понял вообще

[Munin]

Sicker в сообщении #862426 писал(а):

И никакой привязки к комплексности я не увидел

Ну, в общем, она там просто по традиции. Многообразия можно делать разными способами. И когда их делают из функции на комплексной плоскости - это называется римановыми поверхностями. А в других случаях - так не называется. Только и всего.

Sicker в сообщении #862426 писал(а):

Вот скажем если взять многозначную функцию действительного переменного(в действительные числа же), то для нее тоже можно построить риманову поверхность

Можно, только это будет не поверхность, а линия.

Sicker в сообщении #862426 писал(а):

а ваше определение не понял вообще

А это не определение.

[provincialka]

Да, для $\operatorname{Arcsin}$ можно ввести такую "линию". Но в вещественном случае можно естественным образом выбрать главную ветку, которую и обозначают $\arcsin$. Может, поэтому "римановы линии" не получили распространения.

[Munin]

provincialka в сообщении #862430 писал(а):

Но в вещественном случае можно естественным образом выбрать главную ветку

Да не таким уж и естественным. (Особенно, если посмотреть на $\arccos.$) А если снять требование "естественности", то в этом вещественный и комплексный случай не отличаются.

Отличие в другом: с линиями много интересного не нарисуешь, а вот комплексная переменная приводит к двумерным многообразиям, которые оказались достаточно разнообразны. Из этого в конце 19 - начале 20 века зарождалась топология. Скоро её переформулировали так, что комплексные переменные оказались не нужны, но римановы поверхности традиционно остаются одним из интересных частных случаев и источников мотивации для топологии.