XIII Киевский математический фестиваль 2014

[dm]

Письменная олимпиада

8-й класс
1. На прямой сидят две белые и две черные кошки. Сумма расстояний от белых кошек до одной черной кошки равна 4, а до другой 8. Сумма расстояний от черных кошек до одной белой кошки равна 3, а до другой 9. Какие кошки сидят крайними?
2. Можно ли покрыть доску размером $8\times8$ с помощью 13 одинаковых пятиклеточных фигурок? Фигурки разрешается как угодно поворачивать и переворачивать.
3. В турнире по квиддичу участвовали 8 команд, каждая сыграла с каждой другой один раз без ничьих.
Доказать, что существуют такие команды $A,B,C,D,$ что команды $A,B$ вместе и $C,D$ вместе набрали одинаковое количество побед.
4. Доказать, что при каждом натуральном $y$ равенство

$\textrm{НОК}(x,y+1)\cdot \textrm{НОК}(x+1,y)=x(x+1)$

выполняется при бесконечном количестве натуральных значений $x$
(тут $\textrm{НОК}(a,b)$ — наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$).
5. Пусть $AD, BE$ — высоты, а $CF$ — биссектриса остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC,$ причем $AE+BD=AB.$ Обозначим $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ точки пересечения биссектрис треугольников $AEF,$ $BDF,$ $CDE$ соответственно. Доказать, что точки $D, E, F, I_A, I_B$ и $I_C$ лежат на одной окружности.

9-й класс
1. См. задачу 1 для 8 класса.
2. Пусть $x,y,z$ — такие действительные числа, что $(x-z)(y-z)=x+y+z-3.$ Доказать, что $x^2+y^2+z^2\ge3.$
3. См. задачу 3 для 8 класса.
4. Доказать, что существует натуральное число $y$ такое, что равенство

$\textrm{НОК}(x,y+1)\cdot \textrm{НОК}(x+1,y)=y(y+1)$

выполняется хотя бы при 2014 натуральных значениях $x$.
5. См. задачу 5 для 8 класса.

10-й класс
1. См. задачу 2 для 9 класса.
2. На прямой сидят две белые и три черные кошки. Сумма расстояний от белых кошек до одной черной кошки равна 11, до второй 7, а до третьей 9. Сумма расстояний от черных кошек до одной белой кошки равна 12, а до другой 15. Какие кошки могут быть крайними?
3. См. задачу 4 для 9 класса.
4. В турнире по квиддичу участвовали 25 команд, каждая сыграла с каждой другой один раз без ничьих.
Доказать, что существуют такие команды $A,B,C,D,E,F,$ что команды $A,B$ вместе, $C,D$ вместе и $E,F$ вместе набрали однаковое количество побед.
5. См. задачу 5 для 8 и 9 класса.

На выполнение задания отводится 4 часа.
Каждая задача оценивается в 7 баллов.

[Ktina]

Задача 8.2:

dm в сообщении #861327 писал(а):

2. Можно ли покрыть доску размером $8\times8$ с помощью 13 одинаковых пятиклеточных фигурок? Фигурки разрешается как угодно поворачивать и переворачивать.

Что-то никак не возьму в толк.
$8\cdot 8=64\ne 65=13\cdot 5$
Или покрытие - с наложениями?

[dm]

Ktina
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

[Ktina]

dm в сообщении #861518 писал(а):

Ktina
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

1: a7, a8, b7, b8, c8.
2: d8, e7, e8, f7, f8.
3: g7, g8, h6, h7, h8.
4: g4, g5, h4, h5, h6.
5: f1, g1, g2, h1, h2.
6: c1, c2, d1, d2, e1.
7: a1, a2, a3, b1, b2.
8: a4, a5, a6, b5, b6.
9: c5, c6, c7, d6, d7.
10: e6, f5, f6, g5, g6.
11: e2, e3, f2, f3, f4.
12: d3, d4, d5, e4, e5.
13: b3, b4, c3, c4, d3.

-- 11.05.2014, 00:34 --

[nnosipov]

dm в сообщении #861327 писал(а):

4. Доказать, что при каждом натуральном $y$ равенство
$\textrm{НОК}(x,y+1)\cdot \textrm{НОК}(x+1,y)=x(x+1)$
выполняется при бесконечном количестве натуральных значений $x$

Наверное, в качестве ответа предполагалось написать что-то вроде $x=(y+1)(ky-1)$, где $k \in \mathbb{N}$.

[arqady]

9.2. После подстановки $x=a+1$, $y=b+1$ и $z=c+1$ получается что-то очевидное.