Разложение функции в нуле

[Keter]

Пусть дана функция $f(x)=\dfrac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x}}.$

Не могу понять, как получить её разложение в точке $x=0.$

Вольфрам даёт результат $\sqrt2+\dfrac{x}{6\sqrt2}+\dfrac{3x^2}{80\sqrt2}+...$

Но как???

[Dan B-Yallay]

Определение ряда Маклорена знаете?

[Cash]

В нуле предел функции равен бесконечности и разложение в ряд Тейлора попросту неприменимо. Ну а Вольфрам - всего лишь железяка...

[Nemiroff]

Cash в сообщении #861208 писал(а):

В нуле предел функции равен бесконечности и разложение в ряд попросту бесполезно.

Пересчитайте.

[Cash]

Это я не проснулся и арккосинус с арктангенсом перепутал

[Keter]

Dan B-Yallay, знаю. Я имел в виду, как считать значения самой функции и производных от нуля?

Что происходит с $f(0)$ ? А с $f'(0)$ ? Как там вообще выходит $\sqrt2$ и $\dfrac{1}{6\sqrt2}$ ?

$f'(x)=\dfrac{1}{x} \bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x(2-x)}}\sqrt{x}-\dfrac{\arccos(1-x)}{2\sqrt{x}} \bigg).$

[Nemiroff]

Keter в сообщении #861211 писал(а):

Что происходит с $f(0)$ ?

Это как раз корень из двух.

[Keter]

Nemiroff, в смысле в пределе даёт $\sqrt2$?

[Nemiroff]

Keter в сообщении #861211 писал(а):

Как там вообще выходит $\sqrt2$ и $\dfrac{1}{6\sqrt2}$ ?

Может, вам сперва разложение $\arccos(1-x)$ найти проще будет?

-- Сб май 10, 2014 09:06:07 --

Keter в сообщении #861213 писал(а):

Nemiroff, в смысле в пределе даёт $\sqrt2$?

Ну да.

[Keter]

Я просто почему-то затормозил, что разлагая в ряд, мы можем брать предельные значения функции в данной точке...

-- 10 май 2014, 07:15 --

Nemiroff, то есть тут везде Лопиталь и даёт нужные коэффициенты?

[Nemiroff]

Ну наверное. Куда он денется.
Правда, лопиталить придётся долго.

[provincialka]

Keter, а вы проходили метод почленного дифференцирования/интегрирования ряда?

Nemiroff в сообщении #861214 писал(а):

Может, вам сперва разложение $\arccos(1-x)$ найти проще будет?

Там, правда, не чистый степенной ряд получается. Ну, поколдуйте с обоснованием.

[ewert]

Какой лопиталь?... Надо просто разложить производную.

[Otta]

ewert
Этот вопрос возникает уже не в первый раз. Но я спрошу. :) Как Вы относитесь к тому, чтобы полученное называть рядом Тейлора?

[ewert]

Otta в сообщении #861292 писал(а):

чтобы полученное называть рядом Тейлора?

Никак не могу этого запретить. И никому не советую.