2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение08.05.2014, 22:01 
Заслуженный участник


05/02/11
1290
Москва
По поводу $\vec A(\alpha)$. Пусть скорость центра масс $v$. Тогда скорость нити в точке соприкосновения $v\vec u(\alpha)$.
Согласно требованию энергетического баланса $$fv\vec u(\alpha)\vec n=d/dt(Kv^2/2),$$$$dv/dt=\frac{f\vec u(\alpha)\vec n}{K}$$
При $v=0$ центрострострем. ускорения нет, поэтому $$\vec A(\alpha)=\frac{M}{K}(\vec u(\alpha),\vec n)(1+\sin\alpha,-\cos\alpha)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение09.05.2014, 11:05 


01/12/06
463
МИНСК
Нашел ошибку. Забыл $s$ добавить к $x$-овой координате.
Координаты точки с массой:
$$x=s+r \cos\alpha+l \sin\alpha,y=r \sin\alpha-l \cos\alpha$$
где $l=l_0+s+r\alpha$ - длина нити от точки касания до точки с массой.
Дифференцируя находим,
$$\dot x=\dot s-r \dot\alpha \sin\alpha+\dot l \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha=\dot s+\dot s \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha, \\
\dot y=r \dot\alpha \cos\alpha-\dot l \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha=-\dot s \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha$$
Таким образом, кинетическая энергия системы равна ( в предположении, что движение идет без проскальзывания)
$$T=M \dot s^2+m\frac{\dot x^2+\dot y^2}{2}=M \dot s^2+m\frac{\dot s^2+l^2 \dot \alpha^2}{2}+\frac{m}{2}\dot s^2+m \dot s^2 \sin\alpha+m \dot s l \dot\alpha \cos\alpha $$

-- Пт май 09, 2014 12:55:46 --

Далее, уже без подробностей

$$\ddot s(0)=-\frac{g m \cos \alpha +g m \sin \alpha \cos \alpha}{-2 m \sin \alpha +m
   \cos ^2 \alpha -2 m-2 M}$$

$$\ddot \alpha(0)=\frac{\cos \alpha  (g m \cos \alpha +g m \sin \alpha  \cos \alpha )}{l
   \left(-2 m \sin \alpha +m \cos ^2 \alpha -2 m-2 M\right)}-\frac{g \sin \alpha
   }{l}$$

В итоге ответ совпадает с ответом, приведенным выше

$$k_{min}=-\frac{2 m (\sin \alpha-1) \cos \alpha}{4 m \sin \alpha+m \cos 2 \alpha +5
   m+4 M}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение09.05.2014, 12:03 


10/02/11
6786
Можно поставить и еще один вопрос . Возможно ли движение при котором центр диска движется равноускоренно, и угол наклона нити постоянен? Проскальзывания нет. (Вроде бы я где-то такую задачу уже предлагал)

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородный обруч
Сообщение09.05.2014, 12:36 
Заслуженный участник


05/02/11
1290
Москва
Такая задача известна. Небольшое обобщение можно получить, заставив катиться диск по наклонной поверхности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group