Однородный обруч

[dovlato]

По поводу $\vec A(\alpha)$. Пусть скорость центра масс $v$. Тогда скорость нити в точке соприкосновения $v\vec u(\alpha)$.
Согласно требованию энергетического баланса

$$fv\vec u(\alpha)\vec n=d/dt(Kv^2/2),$$

$$dv/dt=\frac{f\vec u(\alpha)\vec n}{K}$$

При $v=0$ центрострострем. ускорения нет, поэтому

$$\vec A(\alpha)=\frac{M}{K}(\vec u(\alpha),\vec n)(1+\sin\alpha,-\cos\alpha)$$

[Андрей123]

Нашел ошибку. Забыл $s$ добавить к $x$-овой координате.
Координаты точки с массой:

$$x=s+r \cos\alpha+l \sin\alpha,y=r \sin\alpha-l \cos\alpha$$

где $l=l_0+s+r\alpha$ - длина нити от точки касания до точки с массой.
Дифференцируя находим,

$$\dot x=\dot s-r \dot\alpha \sin\alpha+\dot l \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha=\dot s+\dot s \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha, \\ \dot y=r \dot\alpha \cos\alpha-\dot l \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha=-\dot s \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha$$

Таким образом, кинетическая энергия системы равна ( в предположении, что движение идет без проскальзывания)

$$T=M \dot s^2+m\frac{\dot x^2+\dot y^2}{2}=M \dot s^2+m\frac{\dot s^2+l^2 \dot \alpha^2}{2}+\frac{m}{2}\dot s^2+m \dot s^2 \sin\alpha+m \dot s l \dot\alpha \cos\alpha $$

-- Пт май 09, 2014 12:55:46 --

Далее, уже без подробностей

$$\ddot s(0)=-\frac{g m \cos \alpha +g m \sin \alpha \cos \alpha}{-2 m \sin \alpha +m \cos ^2 \alpha -2 m-2 M}$$

$$\ddot \alpha(0)=\frac{\cos \alpha (g m \cos \alpha +g m \sin \alpha \cos \alpha )}{l \left(-2 m \sin \alpha +m \cos ^2 \alpha -2 m-2 M\right)}-\frac{g \sin \alpha }{l}$$

В итоге ответ совпадает с ответом, приведенным выше

$$k_{min}=-\frac{2 m (\sin \alpha-1) \cos \alpha}{4 m \sin \alpha+m \cos 2 \alpha +5 m+4 M}$$

[Oleg Zubelevich]

Можно поставить и еще один вопрос . Возможно ли движение при котором центр диска движется равноускоренно, и угол наклона нити постоянен? Проскальзывания нет. (Вроде бы я где-то такую задачу уже предлагал)

[dovlato]

Такая задача известна. Небольшое обобщение можно получить, заставив катиться диск по наклонной поверхности.