Определитель.

[oxid]

Помогите найти определитель. Раскладывал по первой строке - получается рекурсивная формула. Но как такое решать?

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix}

Если второй (в правой части) определитель разложить по первому столбцу - получится тоже самое что и при 2, только меньшего порядка.
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix}

[Pphantom]

oxid в сообщении #860402 писал(а):

Если второй (в правой части) определитель разложить по первому столбцу

А зачем? Это же треугольная матрица, ее определитель можно вычислить сразу.

[g______d]

Pphantom в сообщении #860422 писал(а):

Это же треугольная матрица, ее определитель можно вычислить сразу.

Нет, там потом будут единицы на нижней побочной диагонали.

oxid в сообщении #860402 писал(а):

Но как такое решать?

Так и решать, $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$, $D_1=2$, $D_2=3$. Ищите решение в виде геометрической прогрессии, получите 2 варианта, общее решение — их линейная комбинация, коэффициенты находятся из начальных условий.

[nnosipov]

oxid в сообщении #860402 писал(а):

Помогите найти определитель. Раскладывал по первой строке - получается рекурсивная формула. Но как такое решать?

Есть такой задачник: Проскуряков "Сборник задач по линейной алгебре". Загляните в параграф 5, там много интересного про вычисление определителей $n$-го порядка.

[TOTAL]

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix}
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$

[g______d]

TOTAL в сообщении #860465 писал(а):

Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$

Не сходится.

[TOTAL]

g______d в сообщении #860481 писал(а):

TOTAL в сообщении #860465 писал(а):

Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$

Не сходится.

Что "не так"?

[g______d]

А, нет, всё правильно, я просто долго не мог осознать, что $n=2(n-1)-(n-2)$.

-- Ср, 07 май 2014 22:55:32 --

Геометрическая прогрессия там получается со знаменателем 1, причем этот корень кратный, поэтому решения имеют вид $c_1 n+c_2$.

[oxid]

TOTAL в сообщении #860465 писал(а):

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 2 \end{vmatrix}
Поэтому $D_n=1+D_{n-1}$

С помощью прогрессии я решение нашел. Спасибо! А можете про это подробнее рассказать? Почему там 1 ?

[provincialka]

oxid, попробуйте вычитать столбцы слева направо. Ну, или строки сверху вниз.