Однородный обруч

[Oleg Zubelevich]

Однородный обруч радиуса $r$ массы $M$ на который намотана нерастяжимая невесомая нить с точечной массой $m$ на конце, поставлен на горизонтальную плоскость с коэффициентом сухого трения $k$ так, что нить висит веритикально. При каких условиях на параметры задачи обруч заскользит?

[dovlato]

Это сложно. Даже если он не станет скользить сразу (условия чего получаются без труда),
грузик начинает колебаться, и при его встречном ходе колесо может и заскользить.

[Oleg Zubelevich]

уточню вопрос: При каких условиях на параметры задачи обруч заскользит сразу после того, как его поставили на плоскость?

-- Сб май 03, 2014 22:40:31 --

dovlato в сообщении #858653 писал(а):

Даже если он не станет скользить сразу (условия чего получаются без труда),

может ответ выложите?

[dovlato]

Щщас.
Пусть уже имеется верт. скорость грузика $v$ (при t=0 его горизонтальная скорость=0).
За время $dt$ его потенц. энергия уменьшится на $mgvdt$.
Это приведёт к увеличению кинетич. эн. системы на $mvdv+Mvdv+J\omega d\omega=(m+M+J/R^2)vdv$.
Так как полная энергия сохраняется, ускорение груза (а также и центра диска)

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{mg}{m+M+J/R^2}$$

Так как прижимающая сила

$$N=m(g-a)+Mg$$

то, если нигде не соврал, минимальный коэфф. трения для t=0

$$k=\frac{1}{1+\frac{m+M}{mM}(M+J/R^2)}=\frac{1}{1+(1+\frac{M}{m})(1+\frac{J}{MR^2})}}$$

[Oleg Zubelevich]

ответ верный, вообще лихо у вас физиков это получается. у нас такие задачи решаются гораздо длиннее (ну и аккуратней, естественно) см Татаринов Лекции по классической динамике Часть 1 Тема 15

(Оффтоп)

dovlato в сообщении #858780 писал(а):

а время $dt$ его потенц. энергия уменьшится на $mgvdt$.

а еще за время $dt$ изменится направление скорости материальной точки

[dovlato]

А мне вообще нравится энергетический подход для определения скоростей, ускорений, частот.
Он не обманет.

[Oleg Zubelevich]

Вы всетаки посмотрите ссылку ,которую я дал. Книжку Татаринова легко скачать.

[dovlato]

Спасибо, посмотрю обязательно.

[Oleg Zubelevich]

я думаю, что знаю как модифицировать эту задачу так, что б написание честных уравнений движения стало неизбежным.



Предположим, конструкцию поставили на плоскость в конфигурации, показанной на рисунке: известен угол $\alpha$ и длина хвоста $a$. При каких значениях параметров задачи обруч начнет скользить сразу после того, как систему предоставили самой себе?

[Ismatulla]

Oleg Zubelevich в сообщении #858787 писал(а):

у нас такие задачи решаются гораздо длиннее

у кого это у вас?

[dovlato]

Из спортивного интереса, можно и без честных ДУ. Хотя вроде бы и честно.
Обозначим $f$ силу натяжения при $t=0$; и пусть $\vec n$ - единичный вектор вдоль нити.
Очевидно, что ускорение той точки нити, где она впервые соприкасается с диском, есть линейная функция этой силы

$$\vec a=\frac{\vec A(\alpha)}{M} f$$

Здесь $\vec A(\alpha)$ - функционал геометрии задачи.
С др. стороны, рассматривая точку подвеса груза, пишем

$$f=m(\vec g-\vec a)\vec n$$

Следовательно

$$f=m(\vec g-\frac{\vec A(\alpha)}{M} f)\vec n$$

То есть легко решающееся линейное алгебраическое уравнение относительно $f$.

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #860261 писал(а):

Предположим, конструкцию поставили на плоскость в конфигурации, показанной на рисунке: известен угол $\alpha$ и длина хвоста $a$. При каких значениях параметров задачи обруч начнет скользить сразу после того, как систему предоставили самой себе?

При условии, что

$$\[ m(1-\sin\alpha)\cos\alpha>k\{2M+m[(1+\sin\alpha)^2+2\cos^2\alpha]\}. \]$$

В частности, при $\alpha=0$ имеем $m>k(2M+3m)$. Следует отметить, что $r$ и $a$ в эти условия не входят.

[Андрей123]

Координаты точки с массой:

$$x=r \cos\alpha+l \sin\alpha,y=r \sin\alpha-l \cos\alpha$$

где $l=l_0+s+r\alpha$ - длина нити от точки касания до точки с массой.
Дифференцируя находим,

$$\dot x=-r \dot\alpha \sin\alpha+\dot l \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha=\dot s \sin\alpha+l \dot\alpha \cos\alpha, \\ \dot y=r \dot\alpha \cos\alpha-\dot l \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha=-\dot s \cos\alpha+l \dot\alpha \sin\alpha$$

Таким образом, кинетическая энергия системы равна ( в предположении, что движение идет без проскальзывания)

$$T=M \dot s^2+m\frac{\dot x^2+\dot y^2}{2}=M \dot s^2+m\frac{\dot s^2+l^2 \dot \alpha^2}{2} $$

Составляем уравнения Лагранжа

$$(2M+m)\ddot s-ml \dot \alpha^2=mg \cos\alpha, l^2 \ddot \alpha-l r \dot\alpha^2=-g l \sin\alpha$$

Откуда в начальный момент времени находим

$$\ddot s(0)=\frac{mg\cos\alpha}{2M+m},\ddot \alpha(0)=-\frac{g\sin\alpha}{l}$$

Далее, в начальный момент времени

$$\ddot x(0)=\ddot s \sin\alpha+l \ddot\alpha \cos\alpha, \\ \ddot y(0)=-\ddot s \cos\alpha+l \ddot\alpha \sin\alpha$$

Тогда имеем

$$m\ddot y(0)=-M g-m g+N(0),m\ddot x(0)+M\ddot s(0)=F_{fr}(0)$$

Тогда

$$N(0)=(M+m)g+m\ddot y(0)=(M+m)g-m \frac{mg\cos^2\alpha}{2M+m}-m g\sin^2\alpha$$

$$F_{fr}(0)=M\ddot s(0)+m\ddot x(0)=M \frac{mg\cos\alpha}{2M+m}+m \frac{mg\cos\alpha \sin\alpha}{2M+m}-mg\cos\alpha\sin\alpha$$

$$k_{min}=\frac{F_{fr}(0)}{N(0)}=\frac{M m\cos\alpha-2m M \cos\alpha \sin\alpha}{(M+m)(2M+m)-m^2 \cos^2\alpha-m (2M+m)\sin^2\alpha}$$

[Oleg Zubelevich]

вот мой ответ:

условие непроскальзывания:

$$\frac{2m\cos\alpha-m\sin 2\alpha}{5m+m\cos 2\alpha+4M+4m\sin\alpha}<k$$

-- Чт май 08, 2014 19:08:08 --

drobyshev в сообщении #860545 писал(а):

$$\[ m(1-\sin\alpha)\cos\alpha>k\{2M+m[(1+\sin\alpha)^2+2\cos^2\alpha]\}. \]$$

совпало

-- Чт май 08, 2014 19:47:53 --

dovlato в сообщении #860506 писал(а):

Очевидно, что ускорение той точки нити, где она впервые соприкасается с диском, есть линейная функция этой силы

$$\vec a=\frac{\vec A(\alpha)}{M} f$$

Здесь $\vec A(\alpha)$ - функционал геометрии задачи.

а как этот функционал вычислить без уравнений динамики? угловое ускорение обруча перевязано с ускорением точки через уравнения динамики

[Андрей123]

Oleg Zubelevich, drobyshev, если Вы решали тем же методом, что и я, могли бы ткнуть мне на ошибку?