2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение08.05.2014, 17:55 
Добрый вечер.
Помогите разобраться.

Является ли система ЛНС или ЛЗС?

{1, \cos x , \cos^2 x , \cos^3 x, ...\cos^k x}

Я составил определитель Вандермонда:

\begin{vmatrix} 1 & \cos x & \cos^2x & \cos^3x  & . & . & . & \cos^{n-1}x \\ 1 & \cos^2x  & \cos^4x  & \cos^8x  & . & . & . & \((cos^2x)^{n-1} \\ 1 & \cos^3x & \cos^6x  & \cos^9x  & . & . & . & \((cos^3x)^{n-1} \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & .  \\ . & . & . & . & . & . & . & .  \\ . & . & . & . & . & . & . & .  \\ 1 & \cos^nx  & \((cos^nx)^2  & \((cos^nx)^3  & . & . & . & \((cos^nx)^{n-1}  \end{vmatrix}

И вот не знаю, что делать дальше. Можно расписать как произведение разностей по определению. Но что это даст хорошего, не знаю..

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение08.05.2014, 18:13 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите собственные попытки решения задачи и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение08.05.2014, 23:12 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение08.05.2014, 23:24 
Забыл добавить, над полем $\mathbb{R}$

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 09:12 
StahisT в сообщении #860622 писал(а):
Я составил определитель Вандермонда: ... И вот не знаю, что делать дальше.
Ваша проблема в том, что Вы не понимаете, зачем нужно составлять этот самый определитель Вандермонда. Вот и составляете его абы как. И получается в результате бессмыслица.

Начните с того, что запишите условие линейной зависимости применительно к данной системе функций.
StahisT в сообщении #860705 писал(а):
Забыл добавить, над полем $\mathbb{R}$
Это как раз неважно.

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 10:35 
StahisT в сообщении #860622 писал(а):
Я составил определитель Вандермонда:

А зачем?... при чём тут вообще Вандермонд?...

Сделайте просто замену переменной $t=\cos x$ и исследуйте на линейную независимость получившиеся функции $f_k(t)$.

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 10:43 
ewert в сообщении #860812 писал(а):
при чём тут вообще Вандермонд?
А чем он здесь плох? Вполне естествен до теории многочленов.

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 14:39 
nnosipov в сообщении #860814 писал(а):
Вполне естествен до теории многочленов.

"До" -- это в смысле "для"? Тогда естественен, но вот только именно для них и скорее в обратную сторону: не столько многочлены независимы из-за Вандермонда, сколько Вандермонд не равен нулю из-за их независимости (точнее, чебышёвости).

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 14:51 
ewert в сообщении #860859 писал(а):
... сколько Вандермонд не равен нулю из-за их независимости (точнее, чебышёвости).
По-моему, Вандермонд (от попарно разных элементов) отличен от нуля из-за того, что в поле нет делителей нуля. А независимость одночленов проистекает из бесконечности поля, над которым их рассматривают (так и рассказывают обычно в теории многочленов). Поэтому всё-таки "до".

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 14:56 
nnosipov в сообщении #860862 писал(а):
А независимость одночленов проистекает из бесконечности поля, над которым их рассматривают (так и рассказывают обычно в теории многочленов).

Какие конечные поля, если косинусы?...

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 15:01 
ewert, ну Вы же сами сказали выше, что косинусов там нет, и это чистая правда :-) Кстати, в конечных полях есть логарифмы и, боюсь, косинусы тоже сыщутся.

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 15:13 
nnosipov в сообщении #860865 писал(а):
Вы же сами сказали выше, что косинусов там нет, и это чистая правда :-)

Это после пересчёта их нет. Но задача-то ставилась до, откуда и конечностью полей всё автоматически.

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 15:33 
Что-то я потерял нить беседы. ТС захотел Вандермонда. Ничего предосудительного в этом я не вижу, по крайней мере до момента посвящения в тайну понятия "многочлен".

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 15:44 
nnosipov в сообщении #860878 писал(а):
ТС захотел Вандермонда. Ничего предосудительного в этом я не вижу

Предосудительного ничего, но и никакой связи с исходной задачей тоже нет. Вандермонд имеет отношение к линейной независимости только многочленов; исходно же речь шла отнюдь не о многочленах, во всяком случае формально.

 
 
 
 Re: Линейная зависимость или независимость системы
Сообщение09.05.2014, 15:51 
А, вот в чём дело. Ну да, несколько натянуто. Я, кстати, увидев косинусы, рефлекторно потянулся за словом "ортогональность".

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group