Построить квадратурную формулу Ньютона-Котеса. (Числ. инт.)

[vetrov]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться с заданием по численному интегрированию:
"Построить квадратурную формулу Ньютона-Котеса при $n=1, \rho(x)\equiv1, x\in[-1;1]$".

Квадратурные формулы имеют вид:
$I(f)=\int_a^b\rho(x)f(x)dx\approx S_n(f)=\sum_{k=1}^nC_kf(x_k)$, где $x_k\in [a,b], (k=1,2,...,n) $ - узлы, $C_k$ - коэффициенты квадратурной формулы.
Пусть дано $n$ узлов $x_k\in[a,b], (k=1,2,...,n)$
Функцию $f(x)$ можно представить в виде $f(x)=L_n(x)+r_n(x)$, где
$L_n(x)= \sum_{k=1}^n f(x_k)\prod_{j=1, j\ne k}^{n}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$ - интерполяционный полином Лагранжа;
$r_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n)}(\xi(x))}{n!}\prod_{k=1}^{n}(x-x_k), \xi(x)\in(-1;1)$ - погрешность.
В интеграле вместо $f(x)$ подставим $L_n(x)+r_n(x)$:
$\int_a^b\rho(x)f(x)dx = \int_a^b\rho(x)L_n(x)+\int_a^b\rho(x)r_n(x)$ - получили выражение, где
$S_n(f)= \int_a^b\rho(x)L_n(x)$,
$R_n(f)=\int_a^b\rho(x)r_n(x)$.

Как дальше выводить квадратурную формулу из полученного $S_n(f)= \int_a^b\rho(x)L_n(x)$? Может быть не так нужно её строить?

Каковы этапы построения? Как мне воспользоваться тем, что дано в условии: $n=1, \rho(x)\equiv1, x\in[-1;1]$?

Может быть вывести в общем случае, а потом подставить то, что дано? Или сразу пользоваться тем, что дано? Что следует из того, что $\rho(x)\equiv1$?

[Brukvalub]

Какие именно трудности возникли? Вы залили нужные страницы учебника пивом, они склеились и теперь не открываются?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

vetrov
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Теперь нужно выбрать узлы формулы. Вот и выбирайте их.

[vetrov]

Если $n=1$, то полином Лагранжа 1-ой степени имеет вид:
$L_1(x) = f_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+f_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$;
погрешность:
$r_1(x) = f'\xi(x)(x-x_1)$,
$S_n(f) = \int_a^b\rho(x)L_n(x)dx$, т.е. при $x\in[-1;1]$:
$S_1(f) = \int_{-1}^1\rho(x)L_1(x)dx = \int_{-1}^1\rho(x)(f_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+f_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0})dx$

Это правильно?

[Brukvalub]

Все это хорошо, но узлы так и не назначены, а без узлов до конкретики дело так и не дойдет.

[vetrov]

Узлов должно быть два, да? Например, $x_0=-1, x_1=1$?
Или как их нужно выбрать?

[Brukvalub]

Верно, узлы выбраны, действуйте дальше по выписанным вами формулам.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #860570 писал(а):

но узлы так и не назначены,

А их очень трудно назначить, не обращаясь к начальству, т.к. это можно сделать как минимум двумя разными способами.

[vetrov]

$S_1(f) = \int_{-1}^1\rho(x)(f_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+f_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0})dx = \int_{-1}^1\rho(x)(f_0\frac{x-1}{-2}+f_1\frac{x+1}{2})dx$
т.к. $\rho(x)\equiv1$, то
$S_1(f) = \int_{-1}^1 (f_0\frac{x-1}{-2}+f_1\frac{x+1}{2})dx = -\frac{1}{2}\int_{-1}^1 (f_0(x-1) - f_1(x+1))dx$

Правильно?

А где здесь $C_k$, которые нужно определить?

[ewert]

vetrov в сообщении #860575 писал(а):

А где здесь $C_k$, которые нужно определить?

Нигде. Вы ведь пока что не только не проинтегрировали, но даже интегралов-то не написали.

[vetrov]

$S_1(f) = -\frac{1}{2}\int_{-1}^1 (f_0(x-1) - f_1(x+1))dx = f_0+f_1$, вроде так
И что теперь?

[Brukvalub]

ewert в сообщении #860574 писал(а):

Brukvalub в сообщении #860570 писал(а):

но узлы так и не назначены,

А их очень трудно назначить, не обращаясь к начальству, т.к. это можно сделать как минимум двумя разными способами.

Пусть товарисч хоть как-то их уже назначит!

[vetrov]

Brukvalub в сообщении #860582 писал(а):

ewert в сообщении #860574 писал(а):

Brukvalub в сообщении #860570 писал(а):

но узлы так и не назначены,

А их очень трудно назначить, не обращаясь к начальству, т.к. это можно сделать как минимум двумя разными способами.

Пусть товарисч хоть как-то их уже назначит!

Уже не узлы. С узлами уже всё.