Введение в теорию алгебраических чисел

[Феликс Шмидель]

Перейдём к рассмотрению бесконечных абелевых групп.

Абелева группа называется свободной если у неё нет элементов конечного порядка (кроме $e$) и есть базис.

Базис может быть конечным или бесконечным, но мы пока не определили, что такое бесконечный базис, и этот случай рассматривать не будем.

Определение независимости элементов абелевой группы упрощается, если она свободная:
элементы $a_1$, ..., $a_n$ свободной абелевой группы независимы, если из $a_1^{k_1}...a_n^{k_n}=e$ следует $k_1=0, ..., k_n=0$ (для любых целых чисел $k_1, ..., k_n$).

Лемма
----------

Пусть $a_1, ..., a_n$ - базис свободной абелевой группы $A$.
Тогда любые $n+1$ элементов группы $A$ зависимы.

Доказательство:
----------------------

Предположим, что это не так.
Пусть $A$ - свободная абелева группа, для которой это не так, с наименьшим числом $n$ элементов базиса.
Для $n=1$ лемма верна (поскольку $(a_1^{t_{1}})^{-t_{2}} (a_1^{t_{2}})^{t_{1}}=e$, и если $t_1$ и $t_2$ - различные целые числа, то хотя бы одно из них не равно нулю).
Поэтому $n>1$.
Пусть элементы $b_1, ..., b_{n+1}$ группы $A$ независимы.

Тогда элементы $b_1 b_2^{-1}, b_2, ..., b_{n+1}$ тоже независимы.

Пусть $b_i=a_1^{t_{i 1}}...a_n^{t_{i n}}$, где $t_{i 1}, ..., t_{i n}$ - целые числа, для $i=1, ..., n+1$.

Если $t_{i 1}<0$ для какого-то $i$, заменим $b_i$ на $b_i^{-1}$.
Без ограничения общности, предположим, что $t_{1 1}, t_{2 1}, ..., t_{(n+1) 1} \ge 0$.

Переставим эти целые неотрицательные числа в порядке убывания.
Если после этого, второе число не равно нулю, то отнимая его от первого числа можно уменьшить общую сумму чисел.
Повторяя эти действия, можно добиться того, чтобы все числа, кроме первого, были равны нулю.

Переставляя элементы $b_1, ..., b_{n+1}$, заменяя $b_1$ на $b_1 b_2^{-1}$ и повторяя эти действия, можно получить такие независимые элементы $c_1, ..., c_{n+1}$, где $c_i=a_1^{k_{i 1}}...a_n^{k_{i n}}$, что $k_{2 1}=0$, ...,$k_{(n+1) 1}=0$.

Пусть $C$ - подгруппа группы $A$, генерированная элементами $a_2, ...,a_{n}$.
Тогда $c_2, ..., c_{n+1} \in C$, и эти элементы зависимы, в силу минимальности $n$.
Что противоречит независимости элементов $c_1, ..., c_{n+1}$.


Из доказанной леммы следует, что все базисы свободной абелевой группы имеют одинаковое количество элементов.

Рангом свободной абелевой группы называется количество элементов в её базисе.


Лемма
-----------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Любая нетривиальная подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.
Более того, существует такой базис $b_1, ..., b_m$ подгруппы $B$ (где $m \leq n$), что $b_i$ является произведением степеней $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., m$.

Доказательство:
-------------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $a_1^k$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $a_1^k\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.
Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $a_1^k a_2^{k_2}...a_n^{k_n} \in B$, где $k_2, ..., k_n$ - целые числа.
Если такого $k$ не существует, то $B$ является подгруппой свободной абелевой группы с базисом $a_2$, ..., $a_n$ и лемма верна согласно предположению индукции (если $b_i$ является произведением степеней $a_i, ..., a_n$, то $b_i$ является произведением степеней $a_{i-1}, a_i, ..., a_n$, для любого $i=2, ..., m$).
Пусть $b_1=a_1^k a_2^{k_2}...a_n^{k_n}$ - какой-либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Любой элемент подгруппы $B$ имеет вид $a_1^{t k} a_2^{t_2}...a_n^{t_n}$, где $t$ - целое число, и $t_2, ..., t_n$ - целые числа.
Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $a_2^{t_2}...a_n^{t_n}$.
Если $C$ тривиальна, то $B$ генерируется элементом $b_1$, поскольку $b b_1^{-t} \in C$ для любого $b=a_1^{t k} a_2^{t_2}...a_n^{t_n} \in B$.
Пусть $C$ - нетривиальна.
Поскольку $C$ является подгруппой свободной абелевой группы, генерированной элементами $a_2, ..., a_n$, то согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$ (удовлетворяющий условиям леммы), где $m\leq n$.
Элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ - независимы, так как если $b_1^{t_1}...b_m^{t_m}=e$, то $a_1^{t_1 k}=e$ в силу независимости $a_1, ..., a_n$, значит $t_1=0$ в силу отсутствия элементов конечного порядка, значит $b_1^{t_1}=e$ и $b_2^{t_2}...b_m^{t_m}=e$, значит $b_2^{t_2}=e$, ..., $b_m^{t_m}=e$ в силу независимости $b_2, ..., b_m$.
Элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ образуют базис подруппы $B$, поскольку $b b_1^{-t} \in C$ для любого $b=a_1^{t k} a_2^{t_2}...a_n^{t_n} \in B$, а элементы $b_2, ..., b_m$ образуют базис подруппы $C$.


Абелева группа называется конечно-генерированной, если она является произведением конечного числа циклических подгрупп.

Теорема
--------------

Пусть $A$ - конечно-генерированная абелева группа, не имеющая элементов конечного порядка (кроме $e$).
Тогда $A$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Доказательство
------------------------

Пусть элементы $a_1$, ..., $a_k$ - генераторы группы $A$.
Пусть $n$ - наибольшее колличество независимых элементов, которые можно выбрать в $A$.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - независимые элементы, выбранные в $A$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, генерируемая элементами $b_1$, ..., $b_n$.
Тогда для любого $j=1, ..., k:$ элементы $a_j$, $b_1$, ..., $b_n$ - зависимы, следовательно $a_j^{m_j} \in B$ для некоторого целого положительного числа $m_j$.
Пусть $m$ - наименьшее общее кратное чисел $m_1$, ..., $m_k$.
Тогда для любого $a \in A: a^m \in B$.
Согласно лемме, подгруппа элементов вида $a^m$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.
Пусть $c_1^m$, ..., $c_v^m$ - базис этой подгруппы.
Элементы $c_1, ..., c_v$ независимы, так как если $c_1^{t_1}...c_v^{t_v}=e$, то $(c_1^m)^{t_1}...(c_v^m)^{t_v}=e$, следовательно $t_1=0, ..., t_v=0$.
Для любого $a \in A: a^m=c^m$, где $c$ является произведением степеней элементов $c_1, ..., c_v$.
Поскольку из $a^m=c^m$ следует $a=c$, ввиду отсутствия элементов конечного порядка, то $c_1, ..., c_v$ генерируют группу $A$.
Значит $c_1, ..., c_v$ - базис группы $A$.


Теорема
------------

Пусть $G$ - конечно-генерированная абелева группа, и $T(G)$ - подгруппа её элементов конечного порядка.
Тогда $T(G)$ - конечная группа.
Если $T(G)$ собственная подгруппа (то есть не совпадает с $G$), то группа $G$ является прямым произведением некоторой своей подгруппы $A$ и $T(G)$, где $A$ - свободная абелева группа.


Доказательство:
----------------------

Покажем, что $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.

Если $T(G)$ совпадает с $G$, то это верно.

Пусть $T(G)$ не совпадает с $G$.

Фактор-группа $G/T(G)$ является конечно-генерированной абелевой группой (поскольку такой является группа $G$).
Если элемент $g$ не принадлежит $T(G)$, то $g^t$ не принадлежит $T(G)$, где $t$ - любое целое число, отличное от нуля.
Поэтому фактор-группа $G/T(G)$ не имеет элементов конечного порядка, кроме $T(G)$.

Следовательно, $G/T(G)$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Пусть $a_1 T(G)$, ..., $a_n T(G)$ - базис фактор-группы $G/T(G)$.
Пусть $A$ - подгруппа группы $G$ генерируемая элементами $a_1$, ..., $a_n$.

Тогда $A$ не имеет с $T(G)$ общих элементов, кроме $e$.
В самом деле, если $a=a_1^{t_1}...a_n^{t_n} \in T(G)$, то $(a_1 T(G))^{t_1}...(a_n T(G))^{t_n}=T(G)$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$, значит $a=e$.

Из этого следует, что в группе $A$ нет элементов конечного порядка (кроме $e$).

Элементы $a_1, ..., a_2$ независимы.
В самом деле, если $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}=e$, то $(a_1 T(G))^{t_1}...(a_n T(G))^{t_n}=T(G)$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$.

Значит $A$ - свободная абелева группа.

Группа $G$ является произведением подгрупп $A$ и $T(G)$ (поскольку любой элемент фактор-группы $G/T(G)$ равен $a T(G)$, где $a \in A$).
Поскольку подгруппы $A$ и $T(G)$ не имеют общих элементов, кроме $e$, то группа $G$ является прямым произведением подгрупп $A$ и $T(G)$.

Любой из конечного числа генераторов группы $G$ представим в виде произведения элемента из $T(G)$ и элемента из $A$.
Пусть $b_1 c_1, ..., b_m c_m$ - генераторы группы $G$, где $b_1, ..., b_m \in T(G)$, а $c_1, ..., c_m \in A$.
Для любого $b \in T(G): b=(b_1 c_1)^{t_1}...(b_m c_m)^{t_m}=(b_1^{t_1}...b_m^{t_m})(c_1^{t_1}...c_m^{t_m})$, где $t_1, ..., t_m$ - целые числа.
Значит, $c_1^{t_1}...c_m^{t_m} \in T(G)$.
Поскольку $c_1^{t_1}...c_m^{t_m} \in A$, и подгруппы $A$ и $T(G)$ не имеют общих элементов, кроме $e$, то $c_1^{t_1}...c_m^{t_m}=e$.
Значит для любого $b \in T(G): b=b_1^{t_1}...b_m^{t_m}$, где $t_1, ..., t_m$ - целые числа.
Следовательно $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.

Поскольку генераторы группы $T(G)$ имеют конечный порядок, то $T(G)$ - конечная группа.

[Феликс Шмидель]

Теорема
-------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Пусть $B$ - нетривиальная подгруппа ранга $m$ группы $A$.

Фактор группа $A/B$ конечна тогда и только тогда, когда $m=n$.

Доказательство
---------------------

Мы доказали, что $m\leq n$.

1. Пусть фактор группа $A/B$ конечна.

Пусть $k$ - порядок группы $A/B$.
Пусть $C$ - подгруппа элементов вида $a^k$, где $a \in A$.

Для любого $a \in A$: $a^k \in B$, следовательно $C$ является подгруппой группы $B$.
Поскольку ранг $C$ равен $n$, то $n \leq m$.

Значит $m=n$.

2. Пусть $m=n$.

Фактор-группа $A/B$ конечно-генерирована, поскольку группа $A$ конечно-генерирована.

Пусть $b_1$, ..., $b_m$ - базис группы $B$.

Для любого $a \in A$: элементы $a, b_1$, ..., $b_m$ зависимы, поэтому $a^k \in B$ для некоторого ненулевого целого числа $k$.

Значит любой элемент $a B$ фактор-группы $A/B$ имеет конечный порядок.
Поскольку группа $A/B$ конечно-генерирована, и её генераторы имеют конечный порядок, то она конечна.


Лемма
----------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1$, ..., $b_n$.

Пусть $b_i=a_i^{k_{i i}}...a_n^{k_{i n}}$ (где $k_{i i}, ..., k_{i n}$ - целые числа) для любого $i=1, 2, ..., n$.

Тогда порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{1 1}|...|k_{n n}|$.

Доказательство:
----------------------

Заметим, что $k_{i i} \ne 0$ для любого $i=1, 2, ..., n$.
Это следует из независимости элементов $b_i, ..., b_n$.
В самом деле, если $k_{i i}=0$, то $b_i, ..., b_n$ зависимы, поскольку принадлежат свободной абелевой группе, генерированной элементами $a_{i+1}, ..., a_n$.

Пусть $t_1$, ..., $t_n$ - целые числа, такие, что $|t_1|<|k_{1 1}|$, ..., $|t_n|<|k_{n n}|$, и пусть $a_1^{t_1}...a_n^{t_n} \in B$.
Покажем, что $t_1=0, ..., t_n=0$.

Имеем: $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}=b_1^{m_1}...b_n^{m_n}=a_1^{k_{1 1} m_1} a_2^{k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2}...a_n^{k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n}$, где $m_1, ..., m_n$ - целые числа.
Значит $t_1=k_{1 1} m_1, t_2=k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2, ..., t_n=k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n$.
Покажем, что $m_1=0, ..., m_n=0$.

Предположим, что это не так, и пусть $i$ - наименьший индекс, для которого $m_i \ne 0$.
Тогда $t_i=k_{i i} m_i$ (поскольку $t_i=k_{1 i} m_1+k_{2 i} m_2+...+k_{i i} m_i$).
Поскольку $|t_i|<|k_{i i}|$, то $m_i=0$, что противоречит предположению.

Значит $m_1=0, ..., m_n=0$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$, что и требовалось.

Пусть теперь $t_1$, ..., $t_n$ - целые неотрицательные числа, такие, что $t_1<|k_{11}|$, ..., $t_n<|k_{nn}|$.
Для разных таких наборов $(t_1, ..., t_n)$, произведения $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}$ принадлежат разным смежным классам фактор-группы $A/B$.

С другой стороны, любой элемент группы $A$ находится в одном смежном классе фактор-группы $A/B$ с некоторым элементом вида $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}$, где $(t_1, ..., t_n)$ - такой набор.

В самом деле, любой элемент группы $A$ представим в виде $a=a_1^{s_1}...a_n^{s_n}$, где $s_1$, ..., $s_n$ - целые числа.
Помножив $a$ на $b_1$ в некоторой целой степени, затем на $b_2$ в некоторой целой степени, и так далее, можно получить $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}$, где $t_1$, ..., $t_n$ - целые неотрицательные числа, такие, что $t_1<|k_{11}|$, ..., $t_n<|k_{nn}|$.

Значит, порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{11}|...|k_{nn}|$.

[Феликс Шмидель]

В дальнейшем, нам понадобятся понятия и теоремы линейной алгебры, в частности матрицы, детерминанты, умножение матриц и ассоциативность этого умножения.
Будем считать эти понятия и теоремы линейной алгебры известными.

Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов называется квадратной.
Детерминант квадратной матрицы $M$ обозначается $|M|$.
Квадратная матрица называется унимодулярной, если её детерминант равен $1$ или $-1$.


Последняя лемма является частным случаем теоремы о том, что порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы перехода от базиса группы $A$ к базису подгруппы $B$.
В последней лемме, матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $b_1, ..., b_n$ имеет вид:

$M=\left( \begin{array} {cccc} k_{1 1} & k_{1 2} & \ldots & k_{1 n} \\ 0 & k_{2 2} & \ldots & k_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & k_{n n} \end{array} \right)$

Матрица перехода определяется следующим образом: базисы записываются в виде столбцов $a=\left( \begin{array} {c} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)$, $b=\left( \begin{array} {c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$, а матрицей перехода от базиса $a$ к базису $b$ называется матрица целых чисел $M$, удовлетворяющая равенству $b=M a$.

Это определение матрицы перехода даётся для абелевой группы $A$ (и её подгруппы $B$) по сложению, а не по умножению. Для групп по сложению, последняя лемма имеет вид:

Лемма
----------

Пусть $A$ - свободная абелева группа по сложению ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1$, ..., $b_n$.

Пусть $b_i=k_{i i} a_i+...+k_{i n} a_n$ (где $k_{i i}, ..., k_{i n}$ - целые числа) для любого $i=1, 2, ..., n$.

Тогда порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{1 1}|...|k_{n n}|$.


Лемма
----------

Пусть $b_1, ..., b_n$ и $c_1, ..., c_n$ - два базиса одной и той же абелевой группы (по сложению) $B$.
Тогда матрица перехода от одного базиса к другому унимодулярна.

Доказательство:
----------------------

Пусть $b=\left( \begin{array} {c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$, $c=\left( \begin{array} {c} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{array} \right)$.

Пусть $c=M_1 b$ и $b=M_2 c$, где $M_1$ и $M_2$ - матрицы перехода от базиса $b$ к базису $c$ и, наоборот, от $c$ к $b$.

Тогда $b=M_2 c=M_2 (M_1 b)=(M_2 M_1) b$, значит $b=(M_2 M_1) b$, значит $M_2 M_1=I$, где $I$ - единичная матрица.

Поэтому $|M_2 M_1|=1$.
Поскольку $|M_2 M_1|=|M_2| |M_1|$ и детерминанты $|M_1|$ и $|M_2|$ являются целыми числами, то обе матрицы $M_1$ и $M_2$ унимодулярны.


Теорема
-------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа по сложению ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1$, ..., $b_n$.

Пусть $M$ - матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $b_1, ..., b_n$.

Тогда порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы $M$.


Доказательство
---------------------

Пусть $c_1, ..., c_n$ - такой базис подгруппы $B$, что $c_i$ является произведением степеней $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., n$.
Такой базис существует согласно одной из доказанных ранее лемм.
Пусть $M_1$ - матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $c_1, ..., c_n$.
Согласно предпоследней лемме, порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы $M_1$.
Пусть $M_2$ - матрица перехода от базиса $c_1, ..., c_n$ к базису $b_1, ..., b_n$.
Тогда $M=M_2 M_1$ (поскольку из $c=M_1 a$ и $b=M_2 c$ следует $b=M_2 (M_1 a)=(M_2 M_1) a$).
Cогласно последней лемме, матрица $M_2$ унимодулярна.
Значит, $|M|=|M_2 M_1|=|M_2| |M_1|=|M_1|=|A/B|$.
Значит $|A/B|=|M|$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Исправление
------------------

Цитата:

Пусть $c_1, ..., c_n$ - такой базис подгруппы $B$, что $c_i$ является произведением степеней $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., n$.

исправляется на:

Пусть $c_1, ..., c_n$ - такой базис подгруппы $B$, что $c_i$ является линейной комбинацией элементов $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., n$.

[Феликс Шмидель]

Большое спасибо, уважаемый Алексей К., за комментарий.

Алексей К. в сообщении #854755 писал(а):

Не должны читатели бегать по теме взад-вперёд, обнаружив, что что-то там исправляется, и перечитывать прошлый текст с учётом нижепоявившихся исправлений.

Я полностью с этим согласен, и собираюсь переписывать текст до тех пор, пока в нём не будет никаких исправлений. В связи с этим, возможность запоздалого редактирования была бы очень ценной.
Я ещё не был в Карантине, возможно там этой теме самое место.

Алексей К. в сообщении #854755 писал(а):

Отдельные сообщения от Someone с изложением essence некоторых известных теоретических понятий у меня сохранены в закладках, и тоже ждут поры счастья "всё время --- свободно и твоё!"

Я очень ценю простоту и ясность изложения, свойственную Someone.
Не могли бы Вы дать мне ссылки на его сообщения.

Алексей К. в сообщении #854755 писал(а):

Ну и осмысленность затеи я бы как-то проверил. Вы предлагаете корм, похоже, хороший корм, но найдутся ли для него кони?

Я писал первую редакцию текста, в основном для себя, чтобы освоить основы теории.
Некоторые понятия, например, дифферента были для меня новыми.
Кроме этого, я включил исследование свойств поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$.
Я использовал это поле в своём успешном доказательстве ВТФ для $n=3$.
Вторая редакция текста должна улучшить и дополнить первую.

-- Сб апр 26, 2014 10:36:01 --

Не понимаю, куда делось сообщение заслуженного участника Алексей К с ценными критическими замечаниями?

[Алексей К.]

Чо-то я с утра не захотел, чтоб оно висело, и тему мусорило, дождался, пока Вы его прочтёте, и удалил...

-- 26 апр 2014, 14:25:48 --

В Карантине вы правите сообщения (по требованию модераторов или по своей воле), никто не может в это время туда ничего написать, потом тему возвращают в общий доступ.

-- 26 апр 2014, 14:27:06 --

Да, я тоже иногда пишу "для себя", помогает в упорядочивании...

[Феликс Шмидель]

Я упорядочил начало теории абелевых групп.

Глава 1. Введение в теорию абелевых групп.

Определение
-----------------

Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.


Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет $0$, а роль обратного элемента играет $-a$.

Говоря о группе, мы будем указывать, по умножению она или по сложению.
Но если из контекста ясно о какой операции идёт речь, то мы не будем это указывать.


Теорема 1.1
------------------

Пусть $G$ - группа, и $e$ - её единица.

(1) Для любых элементов $x, a, b \in G:$ если $x a=x b$ то $a=b$.

(2) Для любого элемента $a \in G: a e=a$.

(3) Для любого элемента $a \in G: a a^{-1}=e$.

(4) Для любых элементов $x, a, b \in G:$ если $a x=b x$ то $a=b$.

Утверждения (2) и (3) означают, что левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.


Доказательство:
----------------------

Чтобы показать (1), умножим слева равенство $x a=x b$ на $x^{-1}$.
Чтобы показать (2), применим (1) к равенству $a^{-1} a e=a^{-1} a$.
Чтобы показать (3), применим (1) к равенству $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$.
Чтобы показать (4), умножим справа равенство $a x=b x$ на $x^{-1}$.


Определение
------------------

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a, b \in G$.


Определение
------------------

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.


Определение
-----------------

Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.


В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.


Определение
------------------

Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.


Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.


Определение
------------------

Подмножество $A$ группы $G$ называется подгруппой, если:

1. $e \in A$.
2. Для любого $a \in A: a^{-1} \in A$.
3. Для любых $a, b \in A: a b \in A$.


Теорема 1.2
-----------------

(1) Пусть $A$ - непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.

(2) Пусть $A$ - конечное непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a b$.

Доказательство:
---------------------

Покажем (1).

Пусть $A$ - подгруппа.
Для любых $a, b \in A: a^{-1} \in A$, значит $a^{-1} b \in A$.
Что и требовалось.

Пусть теперь $a^{-1} b \in A$ для любых $a, b \in A$.
Тогда $e=a^{-1} a \in A$, где $a$ - какой-либо элемент непустого множества $A$.
Для любого $a \in A: a^{-1}=a^{-1} e \in A$ .
Для любых $a, b \in A: a b=(a^{-1})^{-1} b \in A$ .
Значит $A$ - подгруппа, что и требовалось.

Покажем (2).

Пусть $A$ - подгруппа.
Для любых $a, b \in A: a b \in A$.
Что и требовалось.

Пусть теперь $a b \in A$ для любых $a, b \in A$.
Достаточно показать, что $e \in A$ и $a^{-1} \in A$ для любого $a \in A$.

Пусть $a$ - произвольный элемент множества $A$.
Рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы конечного множества $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x \in A$, откуда $x=e$, значит $e \in A$.
Из $a x=e$ следует, что $x=a^{-1}$, значит $a^{-1} \in A$.
Поскольку $a$ - произвольный элемент множества $A$, то $a^{-1} \in A$ для любого $a \in A$.
Значит $A$ - подгруппа, что и требовалось.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Левым смежным классом подгруппы $A$ называются множество элементов группы $G$ вида $g A$, где $g$ - какой-либо элемент группы $G$.


Теорема 1.3
----------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

(1) Группа $G$ является объединением всех левых смежных классов подгруппы $A$.

(2) Если левые смежные классы $g_1 A$ и $g_2 A$ пересекаются, то они совпадают.

(3) $g_1$ и $g_2$ принадлежат одному левому смежному классу тогда и только тогда, когда $g_2^{-1} g_1 \in A$.

Доказательство:
---------------------

(1) следует из того, что $g=g e \in g A$ для любого элемента $g$ группы $G$.

Покажем (2).

Пусть левые смежные классы $g_1 A$ и $g_2 A$ пересекаются.
Тогда $g_1 a_1=g_2 a_2$, где $a_1, a_2 \in A$.
Следовательно $g_2=g_1 a_1 a_2^{-1}$ и $g_2 A=g_1 ((a_1 a_2^{-1}) A)=g_1 A$.
Значит $g_2 A=g_1 A$, что и требовалось.

Покажем (3).
Пусть $g_1$ и $g_2$ принадлежат левому смежному классу $g A$.
Тогда $g_1=g a_1$ и $g_2=g a_2$, где $a_1, a_2 \in A$.
Следовательно $g_2^{-1} g_1=(g a_2)^{-1} (g a_1)=a_2^{-1} a_1 \in A$.
Значит $g_2^{-1} g_1 \in A$, что и требовалось.

Пусть теперь $g_2^{-1} g_1 \in A$.
Тогда $g_1$ и $g_2$ принадлежат левому смежному классу $g_2 A$.
Что и требовалось.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

Количество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.


Определение
------------------

Порядком конечной группы называется количество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.


Теорема 1.4
----------------

Если $A$ - подгруппа конечной группы $G$, то $|G|$ делится на $|A|$.

Доказательство:
---------------------

Количество элементов в любом левом смежном классе $g A$ равно $|A|$.
Поскольку $G$ является объединением непересекающихся левых смежных классов, то $|G|$ делится на $|A|$.
Что и требовалось.


Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.


Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.


Определение
------------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Произведением смежных классов $g_1 A$ и $g_2 A$ называется смежный класс $(g_1 g_2) A$.


Это определение корректно, так как различные выборы элементов $g_1$ и $g_2$ соответственно из первого и второго смежных классов дают один и тот же смежный класс $(g_1 g_2) A$.
В самом деле, для любых $a_1, a_2 \in A: (g_1 a_1 g_2 a_2) A=(g_1 g_2 a_3 a_2) A=(g_1 g_2) ((a_3 a_2) A)=(g_1 g_2) A$, где $a_1 g_2=g_2 a_3$, $a_3=g_2^{-1} a_1 g_2 \in A$.


Теорема 1.5
-----------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению.

Доказательство:
----------------------

Произведение смежных классов ассоциативно, поскольку $((g_1 A) (g_2 A)) (g_3 A)=((g_1 g_2) A) (g_3 A)=(g_1 g_2 g_3) A$ и $(g_1 A) ((g_2 A) (g_3 A))=(g_1 A) ((g_2 g_3) A)=(g_1 g_2 g_3) A$.
Роль единицы в группе смежных классов играет $e A$, то есть сама подгруппа $A$.
Обратным элементом смежного класса $g A$ является смежный класс $g^{-1} A$


Определение
------------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Группа смежных классов подгруппы $A$ называется фактор-группой и обозначается $G/A$.


Определение
------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.


Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, то существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).


Определение
------------------

Пусть $G$ - группа, и $g \in G$ - какой-нибудь её элемент.
Порядком элемента $g$ называется наименьшее целое положительное число $m$, для которого $g^m=e$.
Если такое $m$ не существует, то говорят, что элемент $g$ имеет бесконечный порядок.


Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.


Определение
------------------

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.


Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.


Лемма 1.6
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.

Доказательство:
---------------------

Предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.

Возьмём какой-либо элемент $g \in G$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.

Покажем, что порядок элемента $a \in G$ делится на порядок смежного класса $aH \in G/H$.
Пусть $m$ - порядок элемента $a$.
Тогда $a^m=e$, следовательно $(aH)^m=a^m H=H$, значит $m$ делится на порядок $aH$, что и требовалось.

Значит, порядок элемента $a$ делится на $p$, что противоречит тому, что такого элемента нет.


Теорема 1.7
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого равен $p$.

Доказательство:
---------------------

Согласно лемме 1.6, в $G$ cуществует элемент $g$, порядок которого делится на $p$.
Пусть $p m$ - порядок элемента $g$ (где $m$ - целое положительное число)
Тогда порядок элемента $g^m$ равен $p$.
Что и требовалось.


Теорема 1.8
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$, и $p^k$ наибольшая степень $p$, на которую делится этот порядок.

В группе $G$ существует единственная подгруппа $H$ порядка $p^k$.
Подгруппа $H$ включает все элементы группы $G$, порядок которых является степенью $p$.

Доказательство:
---------------------

Пусть $H$ - множество всех элементов этой группы, порядок которых является степенью $p$.

Покажем, что множество $H$ является подгруппой группы $G$.
Поскольку порядок $e$ равен $1=p^0$, то $e \in H$.
Для любого $a \in H: a^{-1} \in H$, поскольку порядок $a^{-1}$ равен порядку $a$.

Покажем, что для любых $a, b \in H: a b \in H$.
Пусть $m$ - больший из порядков $a$ и $b$ (или общий порядок, если оба порядка равны).
Поскольку порядки $a$ и $b$ являются степенями $p$, то $m$ делится на оба порядка.
Значит $(a b)^m=a^m b^m=e$, следовательно $m$ делится на порядок $a b$.
Поскольку $m$ является степенью $p$ и делится на порядок $a b$, то порядок $a b$ является степенью $p$.
Значит $a b \in H$, что и требовалось.

Значит множество $H$ является подгруппой группы $G$, что и требовалось.

Покажем теперь, что порядок фактор группы $G/H$ не делится на $p$.
Предположим обратное, что $|G/H|$ делится на $p$.
Тогда, согласно теореме 1.7, в $G/H$ существует элемент $aH$ порядка $p$, где $a$ не принадлежит $H$.
Поскольку $a^p$ принадлежит $H$, то порядок $a$ является степенью $p$.
Это противоречит тому, что $a$ не принадлежит $H$.

Поскольку $|G/H|=|G|/|H|$ не делится на $p$, то порядок подгруппы $H$ делится на $p^k$.
Пусть $q$ - какое-либо простое число, не равное $p$.
Поскольку подгруппа $H$ не содержит элемента порядка $q$, то, согласно теореме 1.7, порядок $H$ не делится на $q$.
Значит порядок подгруппы $H$ равен $p^k$.

Поскольку подгруппа $H$ включает все элементы группы $G$, порядок которых является степенью $p$, то она является единственной подгруппой порядка $p^k$.


Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется прямым произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Теорема 1.9
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Группа $G$ является прямым произведением этих подгрупп тогда и только тогда, когда для любых $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$ выполняется следующее условие:

(1) Если $h_1...h_m=e$ то $h_1=e$,...,$h_m=e$.

Доказательство:
---------------------

Пусть $G=H_1 ... H_m$ является прямым произведением.
Тогда единичный элемент $e$ однозначно представим виде произведения $e=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.
Значит, условие (1) выполняется, что и требовалось.

Пусть теперь условие (1) выполняется.
Покажем, что любой элемент $g \in G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$.
Пусть $g=h_1...h_m=a_1...a_m$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$ и $a_1 \in H_1, ..., a_m \in H_m$.
Тогда $(h_1 a_1^{-1})...(h_m a_m^{-1})=(h_1...h_m)(a_1...a_m)^{-1}=e$, и из условия (1) следует, что $h_1 a_1^{-1}=e, ..., h_m a_m^{-1}=e$.
Значит $h_1=a_1, ..., h_m=a_m$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Добавим теорему о порядке фактор-группы.

Глава 1. Введение в теорию абелевых групп.

Определение
-----------------

Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.


Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет $0$, а роль обратного элемента играет $-a$.

Говоря о группе, мы будем указывать, по умножению она или по сложению.
Но если из контекста ясно о какой операции идёт речь, то мы не будем это указывать.


Теорема 1.1
------------------

Пусть $G$ - группа, и $e$ - её единица.

(1) Для любых элементов $x, a, b \in G:$ если $x a=x b$ то $a=b$.

(2) Для любого элемента $a \in G: a e=a$.

(3) Для любого элемента $a \in G: a a^{-1}=e$.

(4) Для любых элементов $x, a, b \in G:$ если $a x=b x$ то $a=b$.

Утверждения (2) и (3) означают, что левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.


Доказательство:
----------------------

Чтобы показать (1), умножим слева равенство $x a=x b$ на $x^{-1}$.
Чтобы показать (2), применим (1) к равенству $a^{-1} a e=a^{-1} a$.
Чтобы показать (3), применим (1) к равенству $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$.
Чтобы показать (4), умножим справа равенство $a x=b x$ на $x^{-1}$.


Определение
------------------

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a, b \in G$.


Определение
------------------

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.


Определение
-----------------

Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.


В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.


Определение
------------------

Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.


Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.


Определение
------------------

Подмножество $A$ группы $G$ называется подгруппой, если:

1. Единица $e \in A$.
2. Для любого $a \in A: a^{-1} \in A$.
3. Для любых $a, b \in A: a b \in A$.


Теорема 1.2
-----------------

(1) Пусть $A$ - непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.

(2) Пусть $A$ - конечное непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a b$.

Доказательство:
---------------------

Покажем (1).

Пусть $A$ - подгруппа.
Для любых $a, b \in A: a^{-1} \in A$, значит $a^{-1} b \in A$.
Что и требовалось.

Пусть теперь $a^{-1} b \in A$ для любых $a, b \in A$.
Тогда $e=a^{-1} a \in A$, где $a$ - какой-либо элемент непустого множества $A$.
Для любого $a \in A: a^{-1}=a^{-1} e \in A$ .
Для любых $a, b \in A: a b=(a^{-1})^{-1} b \in A$ .
Значит $A$ - подгруппа, что и требовалось.

Покажем (2).

Пусть $A$ - подгруппа.
Для любых $a, b \in A: a b \in A$.
Что и требовалось.

Пусть теперь $a b \in A$ для любых $a, b \in A$.
Достаточно показать, что $e \in A$ и $a^{-1} \in A$ для любого $a \in A$.

Пусть $a$ - произвольный элемент множества $A$.
Рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы конечного множества $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x \in A$, откуда $x=e$, значит $e \in A$.
Из $a x=e$ следует, что $x=a^{-1}$, значит $a^{-1} \in A$.
Поскольку $a$ - произвольный элемент множества $A$, то $a^{-1} \in A$ для любого $a \in A$.
Значит $A$ - подгруппа, что и требовалось.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Левым смежным классом подгруппы $A$ называются множество элементов группы $G$ вида $g A$, где $g$ - какой-либо элемент группы $G$.


Теорема 1.3
----------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

(1) Группа $G$ является объединением всех левых смежных классов подгруппы $A$.

(2) Если левые смежные классы $g_1 A$ и $g_2 A$ пересекаются, то они совпадают.

(3) $g_1$ и $g_2$ принадлежат одному левому смежному классу тогда и только тогда, когда $g_2^{-1} g_1 \in A$.

Доказательство:
---------------------

(1) следует из того, что $g=g e \in g A$ для любого элемента $g$ группы $G$.

Покажем (2).

Пусть левые смежные классы $g_1 A$ и $g_2 A$ пересекаются.
Тогда $g_1 a_1=g_2 a_2$, где $a_1, a_2 \in A$.
Следовательно $g_2=g_1 a_1 a_2^{-1}$ и $g_2 A=g_1 ((a_1 a_2^{-1}) A)=g_1 A$.
Значит $g_2 A=g_1 A$, что и требовалось.

Покажем (3).
Пусть $g_1$ и $g_2$ принадлежат левому смежному классу $g A$.
Тогда $g_1=g a_1$ и $g_2=g a_2$, где $a_1, a_2 \in A$.
Следовательно $g_2^{-1} g_1=(g a_2)^{-1} (g a_1)=a_2^{-1} a_1 \in A$.
Значит $g_2^{-1} g_1 \in A$, что и требовалось.

Пусть теперь $g_2^{-1} g_1 \in A$.
Тогда $g_1$ и $g_2$ принадлежат левому смежному классу $g_2 A$.
Что и требовалось.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

Количество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.


Определение
------------------

Порядком конечной группы называется количество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.


Теорема 1.4
----------------

Если $A$ - подгруппа конечной группы $G$, то $|G|$ делится на $|A|$.

Доказательство:
---------------------

Количество элементов в любом левом смежном классе $g A$ равно $|A|$.
Поскольку $G$ является объединением непересекающихся левых смежных классов, то $|G|$ делится на $|A|$.
Что и требовалось.


Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.


Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.


Определение
------------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Произведением смежных классов $g_1 A$ и $g_2 A$ называется смежный класс $(g_1 g_2) A$.


Это определение корректно, так как различные выборы элементов $g_1$ и $g_2$ соответственно из первого и второго смежных классов дают один и тот же смежный класс $(g_1 g_2) A$.
В самом деле, для любых $a_1, a_2 \in A: (g_1 a_1 g_2 a_2) A=(g_1 g_2 a_3 a_2) A=(g_1 g_2) ((a_3 a_2) A)=(g_1 g_2) A$, где $a_1 g_2=g_2 a_3$, $a_3=g_2^{-1} a_1 g_2 \in A$.


Теорема 1.5
-----------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению.

Доказательство:
----------------------

Произведение смежных классов ассоциативно, поскольку $((g_1 A) (g_2 A)) (g_3 A)=((g_1 g_2) A) (g_3 A)=(g_1 g_2 g_3) A$ и $(g_1 A) ((g_2 A) (g_3 A))=(g_1 A) ((g_2 g_3) A)=(g_1 g_2 g_3) A$.
Роль единицы в группе смежных классов играет $e A$, то есть сама подгруппа $A$.
Обратным элементом смежного класса $g A$ является смежный класс $g^{-1} A$


Определение
------------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Группа смежных классов подгруппы $A$ называется фактор-группой и обозначается $G/A$.


Теорема 1.6
-----------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа конечной группы $G$.

Порядок фактор-группы $|G/A|$ равен $|G|/|A|$.

Доказательство:
---------------------

Группа $G$ является объединением $|G/A|$ непересекающихся смежных классов, в каждом из которых $|A|$ элементов.
Значит $|G|=|G/A| |A|$, следовательно $|G/A|=|G|/|A|$, что и требовалось.


Определение
------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.


Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, то существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).


Определение
------------------

Пусть $G$ - группа, и $g \in G$ - какой-нибудь её элемент.
Порядком элемента $g$ называется наименьшее целое положительное число $m$, для которого $g^m=e$.
Если такое $m$ не существует, то говорят, что элемент $g$ имеет бесконечный порядок.


Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.


Определение
------------------

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.


Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.


Лемма 1.7
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.

Доказательство:
---------------------

Предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.

Возьмём какой-либо элемент $g \in G$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.

Покажем, что порядок элемента $a \in G$ делится на порядок смежного класса $aH \in G/H$.
Пусть $m$ - порядок элемента $a$.
Тогда $a^m=e$, следовательно $(aH)^m=a^m H=H$, значит $m$ делится на порядок $aH$, что и требовалось.

Значит, порядок элемента $a$ делится на $p$, что противоречит тому, что такого элемента нет.


Теорема 1.8
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого равен $p$.

Доказательство:
---------------------

Согласно лемме 1.7, в $G$ cуществует элемент $g$, порядок которого делится на $p$.
Пусть $p m$ - порядок элемента $g$ (где $m$ - целое положительное число)
Тогда порядок элемента $g^m$ равен $p$.
Что и требовалось.


Теорема 1.9
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$, и $p^k$ наибольшая степень $p$, на которую делится этот порядок.

В группе $G$ существует единственная подгруппа $H$ порядка $p^k$.
Подгруппа $H$ включает все элементы группы $G$, порядок которых является степенью $p$.

Доказательство:
---------------------

Пусть $H$ - множество всех элементов этой группы, порядок которых является степенью $p$.

Покажем, что множество $H$ является подгруппой группы $G$.
Поскольку порядок $e$ равен $1=p^0$, то $e \in H$.
Для любого $a \in H: a^{-1} \in H$, поскольку порядок $a^{-1}$ равен порядку $a$.

Покажем, что для любых $a, b \in H: a b \in H$.
Пусть $m$ - больший из порядков $a$ и $b$ (или общий порядок, если оба порядка равны).
Поскольку порядки $a$ и $b$ являются степенями $p$, то $m$ делится на оба порядка.
Значит $(a b)^m=a^m b^m=e$, следовательно $m$ делится на порядок $a b$.
Поскольку $m$ является степенью $p$ и делится на порядок $a b$, то порядок $a b$ является степенью $p$.
Значит $a b \in H$, что и требовалось.

Значит множество $H$ является подгруппой группы $G$, что и требовалось.

Покажем теперь, что порядок фактор группы $G/H$ не делится на $p$.
Предположим обратное, что $|G/H|$ делится на $p$.
Тогда, согласно теореме 1.8, в $G/H$ существует элемент $aH$ порядка $p$, где $a$ не принадлежит $H$.
Поскольку $a^p$ принадлежит $H$, то порядок $a$ является степенью $p$.
Это противоречит тому, что $a$ не принадлежит $H$.

Поскольку $|G/H|=|G|/|H|$ не делится на $p$, то порядок подгруппы $H$ делится на $p^k$.
Пусть $q$ - какое-либо простое число, не равное $p$.
Поскольку подгруппа $H$ не содержит элемента порядка $q$, то, согласно теореме 1.8, порядок $H$ не делится на $q$.
Значит порядок подгруппы $H$ равен $p^k$.

Поскольку подгруппа $H$ включает все элементы группы $G$, порядок которых является степенью $p$, то она является единственной подгруппой порядка $p^k$.


Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется прямым произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Теорема 1.10
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Группа $G$ является прямым произведением этих подгрупп тогда и только тогда, когда для любых $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$ выполняется следующее условие:

(1) Если $h_1...h_m=e$ то $h_1=e$,...,$h_m=e$.

Доказательство:
---------------------

Пусть $G=H_1 ... H_m$ является прямым произведением.
Тогда единичный элемент $e$ однозначно представим виде произведения $e=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.
Значит, условие (1) выполняется, что и требовалось.

Пусть теперь условие (1) выполняется.
Покажем, что любой элемент $g \in G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$.
Пусть $g=h_1...h_m=a_1...a_m$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$ и $a_1 \in H_1, ..., a_m \in H_m$.
Тогда $(h_1 a_1^{-1})...(h_m a_m^{-1})=(h_1...h_m)(a_1...a_m)^{-1}=e$, и из условия (1) следует, что $h_1 a_1^{-1}=e, ..., h_m a_m^{-1}=e$.
Значит $h_1=a_1, ..., h_m=a_m$, что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Лемма 1.11
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$.

Тогда любые две из этих подгрупп не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.

Доказательство:
---------------------

Предположим обратное, и пусть подгруппы $H_i$ и $H_j$ имеют общий элемент $a$, не равный $e$.
Тогда $e=h_1...h_m$, где $h_i=a, h_j=a^{-1}$, а остальные сомножители равны $e$.
Что противоречит условию (1) теоремы 1.10.


Теорема 1.12
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является произведением подгрупп $H_1$ и $H_2$.
Это произведение является прямым тогда и только тогда когда подгруппы $H_1$ и $H_2$ не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.

Доказательство:
---------------------

Необходимость (только тогда) следует из леммы 1.11.

Пусть подгруппы $H_1$ и $H_2$ не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.
Покажем, что группа $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1$ и $H_2$.

Пусть $e=h_1 h_2$, где $h_1 \in H_1, h_2 \in H_2$.
Тогда $h_1$ и $h_1$ являются общими элементами подгрупп $H_1$ и $H_2$, поскольку $h_1=h_2^{-1} \in H_2$ и $h_2=h_1^{-1} \in H_1$.
Значит $h_1=e$ и $h_2=e$.

Таким образом, условие (1) теоремы 1.10 выполняется.
Согласно теореме 1.10, группа $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1$ и $H_2$.
Что и требовалось.


Лемма 1.13
----------------

Пусть $H_1, ..., H_m$ - конечные подгруппы абелевой группы $G$, где $m>1$.
Если порядки этих подгрупп попарно взаимно-просты, то произведение $H_1 ... H_m$ является прямым произведением.

Доказательство:
---------------------

Пусть $h_1...h_m=e$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$.
Покажем, что $h_1=e, ..., h_m=e$.

Предположим обратное, и пусть $h_k \ne e$, где $k$ - некоторый индекс.

Пусть $a$ - элемент группы $G$, равный произведению всех элементов $h_1, ..., h_m$, кроме $h_k$.
Поскольку $h_1...h_m=e$, то $h_k a=e$.

Пусть $n$ - целое положительное число, равное произведение всех порядков $|H_1|, ..., |H_m|$, кроме $|H_k|$.
Поскольку число $|H_k|$ взаимно-просто с остальными числами из $|H_1|, ..., |H_m|$, то оно взаимно-просто и с их произведением $n$.

Поскольку $h_i^{|H_i|}=e$ для любого $i=1, ..., m$, то $h_k^{|H_k|}=e$ и $a^n=e$.
Следовательно $|H_k|$ делится на порядок элемента $h_k$, и $n$ делится на порядок элемента $a$.
Поскольку числа $|H_k|$ и $n$ - взаимно-просты, а порядки элементов $h_k$ и $a$ равны (так как $h_k a=e$), то порядок элемента $h_k$ равен 1.
Это противоречит тому, что $h_k \ne e$.

Значит, $h_1=e, ..., h_m=e$.

Значит условие (1) теоремы 1.10 выполняется.
Согласно этой теореме произведение $H_1 ... H_m$ является прямым произведением.


Теорема 1.14
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$, где $p_1, ..., p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1, ..., H_m$ -подгруппы порядка $p_1^{k_1}, ..., p_m^{k_m}$.

Тогда группа $G$ равна прямому произведению подгрупп $H_1, ..., H_m$.

Доказательство:
---------------------

Согласно лемме 1.13, произведение подгрупп $H_1 ... H_m$ является прямым произведением.
Следовательно, порядок произведения $|H_1 ... H_m|$ равен произведению порядков $|H_1| ... |H_m|$.
Значит, $|H_1 ... H_m|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}=|G|$.
Значит, группа $G$ является произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Что и требовалось, поскольку это произведение является прямым произведением.


Определение
-----------------

Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^{k_1}...a_1^{k_n}=e$ следует $a_1^{k_1}=e$, ..., $a_n^{k_n}=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.


Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Это следует из теоремы 1.10.


Определение
-----------------

Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, отличны от единицы $e$, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.


Теорема 1.15
-----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Тогда $H$ представима в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.

Доказательство:
---------------------

Предположим обратное, и пусть $H$ -конечная абелева группа наименьшего порядка $p^k$, не представимая в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.

Выберем в $H$ элемент $g$ наибольшего порядка, генерирующий циклическую подгруппу $C$.

Согласно предположению, $H$ не является циклической группой, поэтому $C \ne H$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент группы $H$, не принадлежащий подгруппе $C$.
Пусть $v$ - порядок смежного класса $a C$ в фактор-группе $H/C$.

Тогда $a^v \in C$, значит $a^v=g^n$, где $n$ - целое положительное число.
Пусть $n=n_1 n_2$, где $n_1$ не делится на $p$, а $n_2$ является степенью $p$.

Покажем, что $n_2 \geq v$.
Напомним, что $|a|$ обозначает порядок элемента $a$.
Поскольку $(a C)^{|a|}=a^{|a|} C=C$, то $|a|$ делится на $v$.
Поскольку $g^{n \frac{|a|}{v}}=a^{|a|}=e$, то $n \frac{|a|}{v}$ делится на $|C|$.
Следовательно $n_2 \frac{|a|}{v}$ делится на $|C|$ (поскольку $|C|$ является степенью $p$).
Значит $n_2 \frac{|a|}{v} \geq |C|$, следовательно $\frac{n_2}{v} \geq \frac{|C|}{|a|} \geq 1$.
Последнее неравенство выполняется в силу максимальности порядка циклической подгруппы $C$.
Значит $\frac{n_2}{v} \geq 1$, следовательно $n_2 \geq v$, что и требовалось.

Из неравенства $n_2 \geq v$ следует, что $n_2$ делится на $v$, поскольку целые положительные числа $n_2$ и $v$ являются степенями $p$.
Следовательно $n$ делится на $v$.

Покажем, что можно выбрать такой элемент $b \in a C$, что $b^v=e$.
Пусть $b=a g^{-n/v}$.
Тогда $b^v=a^v g^{-n}=g^n g^{-n}=e$, что и требовалось.

Поскольку $b^v=e$, то циклическая подгруппа группы $H$, генерированная элементом $b$ не имеет с $C$ общих элементов, кроме $e$.
В самом деле, если $b^u \in C$, где $u$ - целое положительное число, то $(b C)^u=C$, следовательно $u$ делится на $v$, значит $b^u=e$.

В силу минимальности порядка $H$, фактор группа $H/C$ является прямым произведением циклических подгрупп, генерируемых элементами $b_1 C$, ..., $b_m C$, где элементы $b_1$, ..., $b_m$ не принадлежат $C$ и выбраны так, что генерируемые ими циклические подгруппы не имеют с $C$ общих элементов, кроме $e$.

Пусть $A_1$, ..., $A_m$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $b_1$, ..., $b_m$.

Покажем, что произведение подгрупп $A_1 ...A_m C$ удовлетворяет условию (1) теоремы 1.9.
Пусть $a_1...a_m c=e$, где $a_1 \in A_1, ..., a_m \in A_m, c \in C$.
Тогда $(a_1 C)...(a_m C)=(a_1 ... a_m) C=c^{-1}C=C$.
Поскольку элементы $a_1, ..., a_m$ являются степенями соответственно элементов $b_1, ..., b_m$, то
смежные классы $a_1 C, ..., a_m C$ являются степенями соответственно смежных классов $b_1 C, ..., b_m C$.
Поскольку смежные классы $b_1 C, ..., b_m C$ независимы, то из $(a_1 C)...(a_m C)=C$ следует
$a_1 C=C, ..., a_m C=C$.
Значит $a_1 \in C, ..., a_m \in C$.
Значит $a_i$ является общим элементом подгрупп $A_i$ и $C$, значит $a_i=e$, для любого $i=1, ..., m$.
Поскольку $a_1...a_m c=e$, то и $c=e$.
Значит $a_1=e, ..., a_m=e, c=e$, что и требовалось.

Согласно теореме 1.10, группа $H$ является прямым произведением циклических подгрупп $A_1, ..., A_m$ и $C$, что противоречит предположению.


Если $H$ (порядка $p^k$) не является циклической группой, то её разложение в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп не является однозначным.
Однако их колличество и порядки определены однозначно с точностью до перестановки.
Докажем эти утверждения.

Следующая лемма имеет вспомогательный характер.


Лемма 1.16
----------------

Пусть $A$ - циклическая группа порядка $p^n$, где $p$ - простое число и $n$ - целое положительное число.

Пусть $g$ - генератор группы $A$.

(1) Пусть $B=\{g^{1 p^{n-1}}, g^{2 p^{n-1}}, ..., g^{p p^{n-1}}\}$.

Тогда $B$ является множеством всех элементов $a \in A$, для которых $a^p=e$.
Количество этих элементов равно $p$.

(2) Пусть $C=\{g^{1 p}}, g^{2 p}, ..., g^{p^{n-1} p}\}$.

Тогда $C$ является множеством всех элементов вида $a^p$, где $a \in A$.
Количество этих элементов равно $p^{n-1}$.

Доказательство:
---------------------

Имеем: $A=\{g^1, g^2, ..., g^{p^n}\}$.

Элемент $g^{p^n}$ равен единице $e$.

Покажем (1).

Пусть $a=g^k$ - любой элемент группы $A$, где $k$ - целое положительное число от $1$ до $p^n$.
Поскольку $a^p=g^{k p}$, то $a^p=e$ тогда и только тогда, когда $k p$ делится на порядок $g$, равный $p^n$.
А $k p$ делится на $p^n$ тогда и только тогда, когда $k$ делится на $p^{n-1}$.
Поскольку $k$ делится на $p^{n-1}$ тогда и только тогда, когда $g^k \in B$, то $a^p=e$ тогда и только тогда, когда $a \in B$.
Что и требовалось.

Покажем (2).

Любой элемент множества $B$ имеет вид $g^{t p}=(g^t)^p$, где $t$ - целое положительное число от $1$ до $p^{n-1}$.
Таким образом, любой элемент множества $B$ имеет вид $a^p$, где $a=g^t$.

Покажем, что любой элемент вида $a^p$, где $a \in A$, принадлежит $B$.
Пусть $a=g^k$ - любой элемент группы $A$, где $k$ - целое положительное число от $1$ до $p^n$.
Пусть $a^p=g^v$, где $v$ - целое положительное число от $1$ до $p^n$.
Тогда $a^p=g^{k p}=g^v$, следовательно $g^{k p-v}=e$, следовательно $k p-v$ делится на порядок $g$, равный $p^n$.
Следовательно $v$ делится на $p$.
Значит $a^p=g^v \in B$, что и требовалось.


Лемма 1.17
----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Пусть $H$ является прямым произведением нетривиальных циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$.

Тогда количество таких элементов $x \in H$, что $x^p=e$, равно $p^m$.

Доказательство:
---------------------

Любой элемент $x \in H$ однозначно представим в виде $x=a_1...a_m$, где $a_1 \in A_1, ..., a_m \in A_m$.

Покажем, что:

(I) $x^p=e$ тогда и только тогда, когда $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$.

Пусть $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$.
Тогда $x^p=(a_1...a_m)^p=a_1^p...a_m^p=e$.

Пусть теперь $x^p=e$.
Тогда $a_1^p...a_m^p=(a_1...a_m)^p=x^p=e$.
Поскольку $a_1^p \in A_1, ..., a_m^p \in A_m$ и $a_1^p...a_m^p=e$, то $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$, в силу условия (1) теоремы 1.10.
Что и требовалось.

Согласно утверждению (1) леммы 1.16, в каждой из циклических подгрупп $A_i$ имеется ровно $p$ таких элементов $a_i$, что $a_i^p=e$.

Значит:

(II) количество таких произведений $a_1...a_m$, что $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$ равно $p^m$.

Из (I) и (II) следует, что количество таких элементов $x \in H$, что $x^p=e$, равно $p^m$.
Что и требовалось.


Теорема 1.18
-----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.

Пусть $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ - два разложения группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, то есть $|A_1|\geq...\geq |A_m|$ и $|B_1|\geq...\geq |B_m|$.

Тогда $|A_1|=|B_1$|, ..., $|A_m|=|B_m|$.

Доказательство:
----------------------

Предположим обратное, и пусть $H$ - абелева группа наименьшего порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число, для которой это не верно.

Тогда существуют такие два разложения $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, что $|A_i| \ne |B_i|$ для некоторого индекса $i$.

Перед выводом противоречия, сделаем отступление.

Для любой абелевой группы $G$ обозначим $G^{(p)}$ множество элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Множество $G^{(p)}$ является подгруппой группы $G$.
Это следует из утверждения (2) теоремы 1.2, поскольку для любых элементов $a, b \in G^{(p)}: a b \in G^{(p)}$.

Покажем, что если $G$ - циклическая группа порядка $p^v$, где $v$ - целое положительное число, то $G^{(p)}$ - циклическая группа порядка $p^{v-1}$.
Пусть $G$ - циклическая группа порядка $p^v$.
Пусть $g$ - генератор группы $G$.
Согласно утверждению (2) леммы 1.16, $G^{(p)}=\{g^{1 p}}, g^{2 p}, ..., g^{p^{v-1} p}\}$.
Порядок $|G^{(p)}|$ равен $p^{v-1}$.
Группа $G^{(p)}$ является циклической, поскольку генерируется элементом $g^{1 p}$.
Что и требовалось.

Приступим к выводу противоречия.

Имеем: $H^{(p)}=A_1^{(p)}...A_m^{(p)}=B_1^{(p)}...B_m^{(p)}$ - два разложения группы $H^{(p)}$ в прямое произведение циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков.
Среди циклических подгрупп $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ могут быть тривиальные, но, в силу теоремы 1.17, количество нетривиальных подгрупп одинаково среди $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и среди $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$.
Обозначим это количество через $n$.
Если $n<m$, то все подгруппы $A_{n+1}^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_{n+1}^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ - тривиальные, откуда все циклические подгруппы $A_{n+1}$, ..., $A_m$ и $B_{n+1}$, ..., $B_m$ имеют одинаковый порядок $p$.
Если $n=0$, то это противоречит предположению.
Пусть $n>0$.
Поскольку $|H^{(p)}|<|H|$, то ввиду минимальности порядка группы $H$ имеем: $|A_1^{(p)}|=|B_1^{(p)}|$, ..., $|A_n^{(p)}|=|B_n^{(p)}|$, откуда $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_n|=|B_n|$.
Значит $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_m|=|B_m|$, что противоречит предположению.

[Феликс Шмидель]

Теорема 1.19
-----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Если $H$ не является циклической группой, то её разложение в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп не является однозначным.

Доказательство:
----------------------

Пусть $H=H_1 ... H_m$ - разложение группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп.

В доказательстве теоремы 1.15 найдено разложение группы $H$ в прямое произведение $H=A_1 ... A_m C$, где $C$ - произвольная циклическая подгруппа максимального порядка.
В силу теоремы 1.18, этот максимальный порядок находится среди порядков $|H_1|, ..., |H_m|$.

Наша задача найти циклическую подгруппу максимального порядка $C$ не совпадающую ни с одной из подгрупп $H_1, ..., H_m$.

Пусть $h_1, ..., h_m$ - генераторы соответственно подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Пусть $c=h_1 ... h_m$, и пусть $C$ - циклическая подгруппа, генерированная элементом $c$.

Покажем, что порядок $|c|$ делится на порядки $|h_1|, ..., |h_m|$.
Имеем: $h_1^{|c|} ... h_m^{|c|}=c^{|c|}=e$.
Поскольку $h_1^{|c|} \in H_1, ..., h_m^{|c|} \in H_m$ и $h_1^{|c|} ... h_m^{|c|}=e$, то $h_1^{|c|}=e, ..., h_m^{|c|}=e$ в силу условия (1) теоремы 1.10.
Следовательно, $|c|$ делится на порядки $|h_1|, ..., |h_m|$.
Что и требовалось.

Значит порядок $|C|$ делится на порядки $|H_1|, ..., |H_m|$.
Следовательно, порядок $|C|$ не меньше наибольшего из порядков $|H_1|, ..., |H_m|$.
Значит $C$ - циклическая подгруппа максимального порядка, поскольку этот максимальный порядок находится среди порядков $|H_1|, ..., |H_m|$.

Покажем, что $C$ не совпадает ни с одной из подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Предположим обратное, что $C=H_i$.
Тогда $c=a_1 ... a_m$, где $a_i=c \in H_i$, а остальные сомножители равны $e$.
Это противоречит однозначности представления $c$ в виде произведения $c=d_1 ... d_m$, где $d_1 \in H_1, ..., d_m \in H_m$, поскольку $c=h_1 ... h_m$ - другое представление, в котором среди сомножителей нет $e$.
Что и требовалось.

Значит $C$ - циклическая подгруппа максимального порядка, не совпадающая ни с одной из подгрупп $H_1, ..., H_m$.
В доказательстве теоремы 1.15 найдено разложение группы $H$ в прямое произведение $H=A_1 ... A_m C$.
Это разложение отлично от разложения $H=H_1 ... H_m$.
Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Перейдём к рассмотрению бесконечных абелевых групп.


Определение
-----------------

Абелева группа называется свободной если у неё нет элементов конечного порядка (кроме единицы $e$) и есть базис.


Базис может быть конечным или бесконечным, но мы пока не определили, что такое бесконечный базис, и этот случай рассматривать не будем.

Определение независимости элементов абелевой группы упрощается, если она свободная:
элементы $a_1$, ..., $a_n$ свободной абелевой группы независимы, если из $a_1^{k_1}...a_n^{k_n}=e$ следует $k_1=0, ..., k_n=0$ (для любых целых чисел $k_1, ..., k_n$).


Лемма 1.20
---------------

Пусть $a_1, ..., a_n$ - базис свободной абелевой группы $A$.
Тогда любые $n+1$ элементов группы $A$ зависимы.

Доказательство:
----------------------

Предположим, что это не так.
Пусть $A$ - свободная абелева группа, для которой это не так, с наименьшим числом $n$ элементов базиса.
Для $n=1$ лемма верна (поскольку $(a_1^{t_{1}})^{-t_{2}} (a_1^{t_{2}})^{t_{1}}=e$, и если $t_1$ и $t_2$ - различные целые числа, то хотя бы одно из них не равно нулю).
Поэтому $n>1$.
Пусть элементы $b_1, ..., b_{n+1}$ группы $A$ независимы.

Тогда элементы $b_1 b_2^{-1}, b_2, ..., b_{n+1}$ тоже независимы.

Пусть $b_i=a_1^{t_{i 1}}...a_n^{t_{i n}}$, где $t_{i 1}, ..., t_{i n}$ - целые числа, для $i=1, ..., n+1$.

Если $t_{i 1}<0$ для какого-то $i$, заменим $b_i$ на $b_i^{-1}$.
Без ограничения общности, предположим, что $t_{1 1}, t_{2 1}, ..., t_{(n+1) 1} \ge 0$.

Переставим эти целые неотрицательные числа в порядке убывания.
Если после этого, второе число не равно нулю, то отнимая его от первого числа можно уменьшить общую сумму чисел.
Повторяя эти действия, можно добиться того, чтобы все числа, кроме первого, были равны нулю.

Переставляя элементы $b_1, ..., b_{n+1}$, заменяя $b_1$ на $b_1 b_2^{-1}$ и повторяя эти действия, можно получить такие независимые элементы $c_1, ..., c_{n+1}$, где $c_i=a_1^{k_{i 1}}...a_n^{k_{i n}}$, что $k_{2 1}=0$, ...,$k_{(n+1) 1}=0$.

Пусть $C$ - подгруппа группы $A$, генерированная элементами $a_2, ...,a_{n}$.
Тогда $c_2, ..., c_{n+1} \in C$, и эти элементы зависимы, в силу минимальности $n$.
Что противоречит независимости элементов $c_1, ..., c_{n+1}$.


Из доказанной леммы следует, что все базисы свободной абелевой группы имеют одинаковое количество элементов.

Рангом свободной абелевой группы называется количество элементов в её базисе.


Лемма 1.21
---------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Любая нетривиальная подгруппа $B$ группы $A$ является свободной абелевой группой ранга $\leq n$.
Более того, существует такой базис $b_1, ..., b_m$ подгруппы $B$ (где $m \leq n$), что $b_i$ является произведением степеней $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., m$.

Доказательство:
-------------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.

Если $n=1$, то $B$ генерируется элементом $a_1^k$, где $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого $a_1^k\in B$.
Предположим, что лемма верна для ранга $n-1$ и докажем, что она верна для ранга $n$.
Пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, такое, что $a_1^k a_2^{k_2}...a_n^{k_n} \in B$, где $k_2, ..., k_n$ - целые числа.
Если такого $k$ не существует, то $B$ является подгруппой свободной абелевой группы с базисом $a_2$, ..., $a_n$ и лемма верна согласно предположению индукции (если $b_i$ является произведением степеней $a_{i+1}, ..., a_n$, то $b_i$ является произведением степеней $a_i, a_{i+1}, ..., a_n$, для любого $i=1, ..., m$).
Пусть $b_1=a_1^k a_2^{k_2}...a_n^{k_n}$ - какой-либо элемент подгруппы $B$ этого вида.
Любой элемент подгруппы $B$ имеет вид $a_1^{t k} a_2^{t_2}...a_n^{t_n}$, где $t$ - целое число, и $t_2, ..., t_n$ - целые числа.
Пусть $C$ - подгруппа генерируемая элементами $B$ вида $a_2^{t_2}...a_n^{t_n}$.
Если $C$ тривиальна, то $B$ генерируется элементом $b_1$, поскольку $b b_1^{-t} \in C$ для любого $b=a_1^{t k} a_2^{t_2}...a_n^{t_n} \in B$.
Пусть $C$ - нетривиальна.
Поскольку $C$ является подгруппой свободной абелевой группы, генерированной элементами $a_2, ..., a_n$, то согласно предположению индукции, $C$ имеет базис $b_2$, ..., $b_m$ (удовлетворяющий условиям леммы), где $m\leq n$.
Элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ - независимы, так как если $b_1^{t_1}...b_m^{t_m}=e$, то $a_1^{t_1 k}=e$ в силу независимости $a_1, ..., a_n$, значит $t_1=0$ в силу отсутствия элементов конечного порядка, значит $b_1^{t_1}=e$ и $b_2^{t_2}...b_m^{t_m}=e$, значит $b_2^{t_2}=e$, ..., $b_m^{t_m}=e$ в силу независимости $b_2, ..., b_m$.
Элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ генерируют подруппу $B$, поскольку $b b_1^{-t} \in C$ для любого $b=a_1^{t k} a_2^{t_2}...a_n^{t_n} \in B$, а элементы $b_2, ..., b_m$ генерируют подруппу $C$.
Поскольку элементы $b_1, b_2, ..., b_m$ независимы и генерируют подруппу $B$, то они образуют её базис.


Определение
-----------------

Абелева группа называется конечно-генерированной, если она является произведением конечного числа циклических подгрупп.


Теорема 1.22
-----------------

Пусть $A$ - конечно-генерированная абелева группа, не имеющая элементов конечного порядка (кроме единицы $e$).
Тогда $A$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Доказательство
------------------------

Пусть элементы $a_1$, ..., $a_k$ - генераторы группы $A$.
Пусть $n$ - наибольшее колличество независимых элементов, которые можно выбрать в $A$.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - независимые элементы, выбранные в $A$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, генерируемая элементами $b_1, ..., b_n$.
Тогда $b_1, ..., b_n$ - базис подгруппы $B$, а поскольку в ней нет элементов конечного порядка, то $B$ - свободная абелева группа.
Ввиду максимальности $n$, для любого $j=1, ..., k:$ элементы $a_j$, $b_1$, ..., $b_n$ - зависимы, следовательно $a_j^{m_j} \in B$ для некоторого целого положительного числа $m_j$.
Пусть $m$ - наименьшее общее кратное чисел $m_1$, ..., $m_k$.
Тогда для любого $a \in A: a^m \in B$.
Пусть $C$ - множество всех элементов группы $A$, представимых в виде $a^m$, где $a \in A$.
Тогда $C \subseteq B$.
Множество $C$ является подгруппой группы $B$, поскольку если $x^m \in C$ и $y^m \in A$, то $(x^m)^{-1} y^m=(x^{-1} y)^m \in C$.
Поскольку $B$ - свободная абелева группа с конечным базисом и $C$ - подгруппа группы $B$, то согласно лемме 1.21, подгруппа $C$ тоже является свободной абелевой группой с конечным базисом.
Пусть $c_1^m, ..., c_v^m$ - базис группы $C$, где $c_1, ..., c_v \in A$.
Элементы $c_1, ..., c_v$ независимы, так как если $c_1^{t_1}...c_v^{t_v}=e$, где $t_1, ..., t_v$ - целые числа, то $(c_1^m)^{t_1}...(c_v^m)^{t_v}=e$, следовательно $t_1=0, ..., t_v=0$.
Для любого $a \in A: a^m$ принадлежит $C$ и является произведением степеней элементов базиса $c_1^m, ..., c_v^m$.
Значит, для любого $a \in A: a^m=c^m$, где $c$ является произведением степеней элементов $c_1, ..., c_v$.
Из $a^m=c^m$ следует $(a c^{-1})^m=e$, следовательно $a c^{-1}=e$, следовательно $a=c$, где предпоследнее равенство выполняется ввиду отсутствия элементов конечного порядка, кроме $e$.
Значит $c_1, ..., c_v$ генерируют группу $A$.
Поскольку элементы $c_1, ..., c_v$ независимы и генерируют группу $A$, то $c_1, ..., c_v$ - базис группы $A$.
Таким образом группа $A$, не имеющая элементов конечного порядка, имеет конечный базис.
Значит группа $A$ - свободная абелева группа с конечным базисом.

Теорема 1.23
------------------

Пусть $G$ - конечно-генерированная абелева группа, и $T(G)$ - подгруппа её элементов конечного порядка.
Тогда $T(G)$ - конечная группа.
Если подгруппа $T(G)$ не совпадает с группой $G$, то группа $G$ является прямым произведением некоторой своей подгруппы $A$ и $T(G)$.
При этом, подгруппа $A$ является свободной абелевой группой.


Доказательство:
----------------------

Покажем, что $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.

Если $T(G)$ совпадает с $G$, то это верно.

Пусть $T(G)$ не совпадает с $G$.

Фактор-группа $G/T(G)$ является конечно-генерированной абелевой группой, поскольку такой является группа $G$.
Если элемент $g$ не принадлежит $T(G)$, то $g^t$ не принадлежит $T(G)$, где $t$ - любое целое число, отличное от нуля.
Поэтому фактор-группа $G/T(G)$ не имеет элементов конечного порядка, кроме $T(G)$.

Значит, фактор-группа $G/T(G)$ является конечно-генерированной абелевой группой, не имеющей элементов конечного порядка, кроме $T(G)$.
Согласно теореме 1.22, $G/T(G)$ является свободной абелевой группой с конечным базисом.

Пусть $a_1 T(G)$, ..., $a_n T(G)$ - базис фактор-группы $G/T(G)$.
Пусть $A$ - подгруппа группы $G$ генерируемая элементами $a_1$, ..., $a_n$.

Тогда $A$ не имеет с $T(G)$ общих элементов, кроме $e$.
В самом деле, если $a=a_1^{t_1}...a_n^{t_n} \in T(G)$, где $t_1, ..., t_n$ - целые числа, то $(a_1 T(G))^{t_1}...(a_n T(G))^{t_n}=T(G)$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$, значит $a=e$.

Из этого следует, что в группе $A$ нет элементов конечного порядка, кроме $e$.

Элементы $a_1, ..., a_n$ независимы.
В самом деле, если $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}=e$, где $t_1, ..., t_n$ - целые числа, то $(a_1 T(G))^{t_1}...(a_n T(G))^{t_n}=T(G)$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$.

Поскольку элементы $a_1, ..., a_n$ независимы и генерируют подгруппу $A$, то они образуют её базис.
Значит подгруппа $A$ имеет конечный базис и не имеет элементов конечного порядка, кроме $e$.
Следовательно, $A$ - свободная абелева группа.

Группа $G$ является произведением подгрупп $A$ и $T(G)$ (поскольку любой элемент фактор-группы $G/T(G)$ равен $a T(G)$, где $a \in A$).
Поскольку подгруппы $A$ и $T(G)$ не имеют общих элементов, кроме $e$, то группа $G$ является прямым произведением подгрупп $A$ и $T(G)$, в силу теоремы 1.12.

Любой из конечного числа генераторов группы $G$ представим в виде произведения элемента из $T(G)$ и элемента из $A$.
Пусть $b_1 c_1, ..., b_m c_m$ - генераторы группы $G$, где $b_1, ..., b_m \in T(G)$, а $c_1, ..., c_m \in A$.

Покажем, что элементы $b_1, ..., b_m$ генерируют группу $T(G)$.
Для любого $b \in T(G): b=(b_1 c_1)^{t_1}...(b_m c_m)^{t_m}=(b_1^{t_1}...b_m^{t_m})(c_1^{t_1}...c_m^{t_m})$, где $t_1, ..., t_m$ - целые числа.
Значит, $c_1^{t_1}...c_m^{t_m} \in T(G)$.
Поскольку $c_1^{t_1}...c_m^{t_m} \in A$, и подгруппы $A$ и $T(G)$ не имеют общих элементов, кроме $e$, то $c_1^{t_1}...c_m^{t_m}=e$.
Значит для любого $b \in T(G): b=b_1^{t_1}...b_m^{t_m}$, где $t_1, ..., t_m$ - целые числа.
Что и требовалось.

Значит, $T(G)$ - конечно-генерированная абелева группа.

Поскольку генераторы группы $T(G)$ имеют конечный порядок, то $T(G)$ - конечная группа.

[Феликс Шмидель]

Теорема 1.24
------------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Пусть $B$ - нетривиальная подгруппа ранга $m$ группы $A$.

Фактор группа $A/B$ конечна тогда и только тогда, когда $m=n$.

Доказательство
---------------------

Согласно лемме 1.21, $m\leq n$.

1. Пусть фактор группа $A/B$ конечна.

Пусть $k$ - порядок группы $A/B$.
Пусть $C$ - подгруппа элементов вида $a^k$, где $a \in A$.

Для любого $a \in A$: $a^k \in B$, следовательно $C$ является подгруппой группы $B$.

Если $a_1, ..., a_n$ - базис группы $A$, то $a_1^k, ..., a_n^k$ - базис группы $C$.
Следовательно, ранг группы $C$ равен $n$.

Поскольку ранг группы $B$ равен $m$, ранг группы $C$ равен $n$, и $C$ является подгруппой группы $B$, то $n \leq m$, в силу леммы 1.21.

Значит $m=n$.

2. Пусть $m=n$.

Фактор-группа $A/B$ конечно-генерирована, поскольку группа $A$ конечно-генерирована.

Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - базис группы $B$.

Согласно лемме 1.20, для любого $a \in A:$ элементы $a, b_1, ..., b_n$ зависимы, поэтому $a^k \in B$ для некоторого ненулевого целого числа $k$.

Значит любой элемент $a B$ фактор-группы $A/B$ имеет конечный порядок.
Поскольку группа $A/B$ конечно-генерирована, и её генераторы имеют конечный порядок, то она конечна.


Лемма 1.25
---------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1$, ..., $b_n$.

Пусть $b_i=a_i^{k_{i i}}...a_n^{k_{i n}}$ (где $k_{i i}, ..., k_{i n}$ - целые числа) для любого $i=1, 2, ..., n$.

Тогда порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{1 1}|...|k_{n n}|$.

Доказательство:
----------------------

Заметим, что $k_{i i} \ne 0$ для любого $i=1, 2, ..., n$.
Это следует из независимости элементов $b_i, ..., b_n$.
В самом деле, если $k_{i i}=0$, то элементы $b_i, ..., b_n$ зависимы, в силу леммы 1.20, поскольку принадлежат свободной абелевой группе, генерированной элементами $a_{i+1}, ..., a_n$.

Пусть $t_1$, ..., $t_n$ - целые числа, такие, что $|t_1|<|k_{1 1}|$, ..., $|t_n|<|k_{n n}|$, и пусть $a_1^{t_1}...a_n^{t_n} \in B$.
Покажем, что $t_1=0, ..., t_n=0$.

Имеем: $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}=b_1^{m_1}...b_n^{m_n}=a_1^{k_{1 1} m_1} a_2^{k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2}...a_n^{k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n}$, где $m_1, ..., m_n$ - целые числа.
Значит $t_1=k_{1 1} m_1, t_2=k_{1 2} m_1+k_{2 2} m_2, ..., t_n=k_{1 n} m_1+k_{2 n} m_2+...+k_{n n} m_n$.
Покажем, что $m_1=0, ..., m_n=0$.

Предположим, что это не так, и пусть $i$ - наименьший индекс, для которого $m_i \ne 0$.
Тогда $t_i=k_{i i} m_i$ (поскольку $t_i=k_{1 i} m_1+k_{2 i} m_2+...+k_{i i} m_i$).
Поскольку $|t_i|<|k_{i i}|$, то $m_i=0$, что противоречит предположению.

Значит $m_1=0, ..., m_n=0$, следовательно $t_1=0, ..., t_n=0$, что и требовалось.

Пусть теперь $t_1$, ..., $t_n$ - целые неотрицательные числа, такие, что $t_1<|k_{11}|$, ..., $t_n<|k_{nn}|$.
Для разных таких наборов $(t_1, ..., t_n)$, произведения $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}$ принадлежат разным смежным классам фактор-группы $A/B$.
В самом деле, если $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}$ и $a_1^{t'_1}...a_n^{t'_n}$ принадлежат одному смежному классу, то $a_1^{t_1-t'_1}...a_n^{t_n-t'_n} \in B$, где $|t_1-t'_1|<|k_{11}|, ..., |t_n-t'_n|<|k_{nn}|$.
Следовательно $t_1-t'_1=0, ..., t_n-t'_n=0$ согласно доказанному выше.

С другой стороны, любой элемент группы $A$ находится в одном смежном классе фактор-группы $A/B$ с некоторым элементом вида $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}$, где $(t_1, ..., t_n)$ - такой набор.

В самом деле, любой элемент группы $A$ представим в виде $a=a_1^{s_1}...a_n^{s_n}$, где $s_1$, ..., $s_n$ - целые числа.
Помножив $a$ на $b_1$ в некоторой целой степени, затем на $b_2$ в некоторой целой степени, и так далее, можно получить $a_1^{t_1}...a_n^{t_n}$, где $t_1$, ..., $t_n$ - целые неотрицательные числа, такие, что $t_1<|k_{11}|$, ..., $t_n<|k_{nn}|$.

Значит, порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{11}|...|k_{nn}|$.

В дальнейшем, нам понадобятся понятия и теоремы линейной алгебры, в частности матрицы, детерминанты, умножение матриц и ассоциативность этого умножения.
Будем считать эти понятия и теоремы линейной алгебры известными.

Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов называется квадратной.
Детерминант квадратной матрицы $M$ обозначается $|M|$.


Определение
-----------------

Квадратная матрица называется унимодулярной, если её детерминант равен $1$ или $-1$.


Лемма 1.25 является частным случаем теоремы о том, что порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы перехода от базиса группы $A$ к базису подгруппы $B$.
В лемме 1.25, матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $b_1, ..., b_n$ имеет вид:

$M=\left( \begin{array} {cccc} k_{1 1} & k_{1 2} & \ldots & k_{1 n} \\ 0 & k_{2 2} & \ldots & k_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & k_{n n} \end{array} \right)$

Матрица перехода определяется следующим образом: базисы записываются в виде столбцов $a=\left( \begin{array} {c} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)$, $b=\left( \begin{array} {c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$, а матрицей перехода от базиса $a$ к базису $b$ называется матрица целых чисел $M$, удовлетворяющая равенству $b=M a$.

Это определение матрицы перехода даётся для абелевой группы $A$ (и её подгруппы $B$) по сложению, а не по умножению. Для групп по сложению, последняя лемма имеет вид:

Лемма 1.25
----------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа по сложению ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1$, ..., $b_n$.

Пусть $b_i=k_{i i} a_i+...+k_{i n} a_n$ (где $k_{i i}, ..., k_{i n}$ - целые числа) для любого $i=1, 2, ..., n$.

Тогда порядок фактор группы $A/B$ равен $|k_{1 1}|...|k_{n n}|$.


Лемма 1.26
---------------

Пусть $b_1, ..., b_n$ и $c_1, ..., c_n$ - два базиса одной и той же абелевой группы по сложению $B$.
Тогда матрица перехода от одного базиса к другому унимодулярна.

Доказательство:
----------------------

Пусть $b=\left( \begin{array} {c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$, $c=\left( \begin{array} {c} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{array} \right)$.

Пусть $c=M_1 b$ и $b=M_2 c$, где $M_1$ и $M_2$ - матрицы перехода от базиса $b$ к базису $c$ и, наоборот, от $c$ к $b$.

Тогда $b=M_2 c=M_2 (M_1 b)=(M_2 M_1) b$, значит $b=(M_2 M_1) b$, значит $M_2 M_1=I$, где $I$ - единичная матрица.

Поэтому $|M_2 M_1|=1$.
Поскольку $|M_2 M_1|=|M_2| |M_1|$ и детерминанты $|M_1|$ и $|M_2|$ являются целыми числами, то обе матрицы $M_1$ и $M_2$ унимодулярны.


Определение
------------------

Линейной комбинацией элементов $a_1, ..., a_n$ абелевой группы по сложению называется выражение $k_1 a_1+...+k_n a_n$, где $k_1, ..., k_n$ - целые числа.


Линейная комбинация элементов абелевой группы по сложению является аналогом произведения степеней элементов абелевой группы по умножению.


Теорема 1.27
-----------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа по сложению ранга $n$ с базисом $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$, ранга $n$ с базисом $b_1$, ..., $b_n$.

Пусть $M$ - матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $b_1, ..., b_n$.

Тогда порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы $M$.


Доказательство
---------------------

Пусть $c_1, ..., c_n$ - такой базис подгруппы $B$, что $c_i$ является линейной комбинацией элементов $a_i, ..., a_n$ для любого $i=1, ..., n$.
Такой базис существует, в силу леммы 1.21.
Пусть $M_1$ - матрица перехода от базиса $a_1, ..., a_n$ к базису $c_1, ..., c_n$.
Согласно лемме 1.25, порядок фактор-группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы $M_1$.
Пусть $M_2$ - матрица перехода от базиса $c_1, ..., c_n$ к базису $b_1, ..., b_n$.
Тогда $M=M_2 M_1$, поскольку из $c=M_1 a$ и $b=M_2 c$ следует $b=M_2 (M_1 a)=(M_2 M_1) a$.
Cогласно лемме 1.26, матрица $M_2$ унимодулярна.
Значит, $|M|=|M_2 M_1|=|M_2| |M_1|=|M_1|=|A/B|$.
Значит $|A/B|=|M|$, что и требовалось.

-- Чт май 15, 2014 09:07:58 --

Мы упорядочили введение в теорию абелевых групп. Осталось добавить определение гомоморфизма и некоторых других понятий. Мне нужна возможность редактировать уже написанные части. Поэтому я обратился к Админу форума с просьбой дать мне возможность запоздалого редактирования в этой теме. К сожалению, я не получил ответа на своё обращение.
В отсутствие возможности запоздалого редактирования, остаётся разбить текст на занумерованные порции.

[Феликс Шмидель]

Порция 1

Глава 1. Введение в теорию абелевых групп.

Определение
-----------------

Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e \in G$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1} \in G$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$.


Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет $0$, а роль обратного элемента играет $-a$.

Говоря о группе, мы будем указывать, по умножению она или по сложению.
Но если из контекста ясно о какой операции идёт речь, то мы не будем это указывать.


Теорема 1.1
------------------

Пусть $G$ - группа, и $e$ - её левая единица.

(1) Для любых элементов $x, a, b \in G:$ если $x a=x b$ то $a=b$.

(2) Для любого элемента $a \in G: a e=a$.

(3) Для любого элемента $a \in G: a a^{-1}=e$.

(4) Для любых элементов $x, a, b \in G:$ если $a x=b x$ то $a=b$.

Утверждения (2) и (3) означают, что левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.


Доказательство:
----------------------

Покажем (1).

Пусть $x a=x b$.
Умножим это равенство слева на $x^{-1}$.
Получим $x^{-1} (x a)=x^{-1} (x b)$, следовательно $(x^{-1} x) a=(x^{-1} x) b$, следовательно $e a=e b$, следовательно $a=b$.
Что и требовалось.

Покажем (2).

Установим равенство: $a^{-1} (a e)=a^{-1} a$ и применим (1) к этому равенству.

Поскольку $a^{-1} a=e$ и $e e=e$, то $(a^{-1} a) e=a^{-1} a$, следовательно $a^{-1} (a e)=a^{-1} a$.
Применяя (1) к последнему равенству, получим $a e=a$
Что и требовалось.

Покажем (3).

Установим равенство: $a^{-1} (a a^{-1})=a^{-1} e$ и применим (1) к этому равенству.

Поскольку $(a^{-1} a) a^{-1}=e a^{-1}=a^{-1}$ и $a^{-1} e=a^{-1}$, в силу (2), то $(a^{-1} a) a^{-1}=a^{-1} e$, следовательно $a^{-1} (a a^{-1})=a^{-1} e$.
Применяя (1) к последнему равенству, получим $a a^{-1}=e$
Что и требовалось.

Покажем (4).

Пусть $a x=b x$.
Умножим это равенство справа на $x^{-1}$.
Получим $(a x) x^{-1}=(b x) x^{-1}$, следовательно $a (x x^{-1})=b (x x^{-1})$, следовательно $a e=b e$, в силу (3), следовательно $a=b$, в силу (2).
Что и требовалось.


Определение
------------------

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a, b \in G$.


Определение
------------------

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.


Определение
-----------------

Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.


В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.


Определение
------------------

Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.


Например, множество целых чисел $\mathbb{Z}$ является коммутативным кольцом, а множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является полем.


Определение
------------------

Подмножество $A$ группы $G$ называется подгруппой, если:

1. Единица $e \in A$.
2. Для любого $a \in A: a^{-1} \in A$.
3. Для любых $a, b \in A: a b \in A$.


Теорема 1.2
-----------------

(1) Пусть $A$ - непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.

(2) Пусть $A$ - конечное непустое подмножество группы $G$.

Для того, чтобы $A$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a b$.

Доказательство:
---------------------

Покажем (1).

Пусть $A$ - подгруппа.
Для любых $a, b \in A: a^{-1} \in A$, значит $a^{-1} b \in A$.
Что и требовалось.

Пусть теперь $a^{-1} b \in A$ для любых $a, b \in A$.
Тогда $e=a^{-1} a \in A$, где $a$ - какой-либо элемент непустого множества $A$.
Для любого $a \in A: a^{-1}=a^{-1} e \in A$ .
Для любых $a, b \in A: a b=(a^{-1})^{-1} b \in A$ .
Значит $A$ - подгруппа, что и требовалось.

Покажем (2).

Пусть $A$ - подгруппа.
Для любых $a, b \in A: a b \in A$.
Что и требовалось.

Пусть теперь $a b \in A$ для любых $a, b \in A$.
Достаточно показать, что $e \in A$ и $a^{-1} \in A$ для любого $a \in A$.

Пусть $a$ - произвольный элемент множества $A$.
Рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы конечного множества $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x \in A$, откуда $x=e$, значит $e \in A$.
Из $a x=e$ следует, что $x=a^{-1}$, значит $a^{-1} \in A$.
Поскольку $a$ - произвольный элемент множества $A$, то $a^{-1} \in A$ для любого $a \in A$.
Значит $A$ - подгруппа, что и требовалось.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Левым смежным классом подгруппы $A$ называются множество элементов группы $G$ вида $g A$, где $g$ - какой-либо элемент группы $G$.


Теорема 1.3
----------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

(1) Группа $G$ является объединением всех левых смежных классов подгруппы $A$.

(2) Если левые смежные классы $g_1 A$ и $g_2 A$ пересекаются, то они совпадают.

(3) $g_1$ и $g_2$ принадлежат одному левому смежному классу тогда и только тогда, когда $g_2^{-1} g_1 \in A$.

Доказательство:
---------------------

(1) следует из того, что $g=g e \in g A$ для любого элемента $g$ группы $G$.

Покажем (2).

Пусть левые смежные классы $g_1 A$ и $g_2 A$ пересекаются.
Тогда $g_1 a_1=g_2 a_2$, где $a_1, a_2 \in A$.
Следовательно $g_2=g_1 a_1 a_2^{-1}$ и $g_2 A=g_1 ((a_1 a_2^{-1}) A)=g_1 A$.
Значит $g_2 A=g_1 A$, что и требовалось.

Покажем (3).
Пусть $g_1$ и $g_2$ принадлежат левому смежному классу $g A$.
Тогда $g_1=g a_1$ и $g_2=g a_2$, где $a_1, a_2 \in A$.
Следовательно $g_2^{-1} g_1=(g a_2)^{-1} (g a_1)=a_2^{-1} a_1 \in A$.
Значит $g_2^{-1} g_1 \in A$, что и требовалось.

Пусть теперь $g_2^{-1} g_1 \in A$.
Тогда $g_1$ и $g_2$ принадлежат левому смежному классу $g_2 A$.
Что и требовалось.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

Количество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.


Определение
------------------

Порядком конечной группы называется количество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.


Теорема 1.4
----------------

Если $A$ - подгруппа конечной группы $G$, то $|G|$ делится на $|A|$.

Доказательство:
---------------------

Количество элементов в любом левом смежном классе $g A$ равно $|A|$.
Поскольку $G$ является объединением непересекающихся левых смежных классов, то $|G|$ делится на $|A|$.
Что и требовалось.


Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.


Определение
------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.

Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.


Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.


Определение
------------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Произведением смежных классов $g_1 A$ и $g_2 A$ называется смежный класс $(g_1 g_2) A$.


Это определение корректно, так как различные выборы элементов $g_1$ и $g_2$ соответственно из первого и второго смежных классов дают один и тот же смежный класс $(g_1 g_2) A$.
В самом деле, для любых $a_1, a_2 \in A: (g_1 a_1 g_2 a_2) A=(g_1 g_2 a_3 a_2) A=(g_1 g_2) ((a_3 a_2) A)=(g_1 g_2) A$, где $a_1 g_2=g_2 a_3$, $a_3=g_2^{-1} a_1 g_2 \in A$.


Теорема 1.5
-----------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению.

Доказательство:
----------------------

Произведение смежных классов ассоциативно, поскольку $((g_1 A) (g_2 A)) (g_3 A)=((g_1 g_2) A) (g_3 A)=(g_1 g_2 g_3) A$ и $(g_1 A) ((g_2 A) (g_3 A))=(g_1 A) ((g_2 g_3) A)=(g_1 g_2 g_3) A$.
Роль единицы в группе смежных классов играет $e A$, то есть сама подгруппа $A$.
Обратным элементом смежного класса $g A$ является смежный класс $g^{-1} A$


Определение
------------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.

Группа смежных классов подгруппы $A$ называется фактор-группой и обозначается $G/A$.


Теорема 1.6
-----------------

Пусть $A$ - нормальная подгруппа конечной группы $G$.

Порядок фактор-группы $|G/A|$ равен $|G|/|A|$.

Доказательство:
---------------------

Группа $G$ является объединением $|G/A|$ непересекающихся смежных классов, в каждом из которых $|A|$ элементов.
Значит $|G|=|G/A| |A|$, следовательно $|G/A|=|G|/|A|$, что и требовалось.


Определение
------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.


Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, то существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).


Определение
------------------

Пусть $G$ - группа, и $g \in G$ - какой-нибудь её элемент.
Порядком элемента $g$ называется наименьшее целое положительное число $m$, для которого $g^m=e$.
Если такое $m$ не существует, то говорят, что элемент $g$ имеет бесконечный порядок.


Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.


Определение
------------------

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.


Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.


Лемма 1.7
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.

Доказательство:
---------------------

Предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.

Возьмём какой-либо элемент $g \in G$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.

Покажем, что порядок элемента $a \in G$ делится на порядок смежного класса $aH \in G/H$.
Пусть $m$ - порядок элемента $a$.
Тогда $a^m=e$, следовательно $(aH)^m=a^m H=H$, значит $m$ делится на порядок $aH$, что и требовалось.

Значит, порядок элемента $a$ делится на $p$, что противоречит тому, что такого элемента нет.


Теорема 1.8
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого равен $p$.

Доказательство:
---------------------

Согласно лемме 1.7, в $G$ cуществует элемент $g$, порядок которого делится на $p$.
Пусть $p m$ - порядок элемента $g$ (где $m$ - целое положительное число)
Тогда порядок элемента $g^m$ равен $p$.
Что и требовалось.


Теорема 1.9
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$, и $p^k$ наибольшая степень $p$, на которую делится этот порядок.

В группе $G$ существует единственная подгруппа $H$ порядка $p^k$.
Подгруппа $H$ включает все элементы группы $G$, порядок которых является степенью $p$.

Доказательство:
---------------------

Пусть $H$ - множество всех элементов этой группы, порядок которых является степенью $p$.

Покажем, что множество $H$ является подгруппой группы $G$.
Поскольку порядок $e$ равен $1=p^0$, то $e \in H$.
Для любого $a \in H: a^{-1} \in H$, поскольку порядок $a^{-1}$ равен порядку $a$.

Покажем, что для любых $a, b \in H: a b \in H$.
Пусть $m$ - больший из порядков $a$ и $b$ (или общий порядок, если оба порядка равны).
Поскольку порядки $a$ и $b$ являются степенями $p$, то $m$ делится на оба порядка.
Значит $(a b)^m=a^m b^m=e$, следовательно $m$ делится на порядок $a b$.
Поскольку $m$ является степенью $p$ и делится на порядок $a b$, то порядок $a b$ является степенью $p$.
Значит $a b \in H$, что и требовалось.

Значит множество $H$ является подгруппой группы $G$, что и требовалось.

Покажем теперь, что порядок фактор группы $G/H$ не делится на $p$.
Предположим обратное, что $|G/H|$ делится на $p$.
Тогда, согласно теореме 1.8, в $G/H$ существует элемент $aH$ порядка $p$, где $a$ не принадлежит $H$.
Поскольку $a^p$ принадлежит $H$, то порядок $a$ является степенью $p$.
Это противоречит тому, что $a$ не принадлежит $H$.

Поскольку $|G/H|=|G|/|H|$ не делится на $p$, то порядок подгруппы $H$ делится на $p^k$.
Пусть $q$ - какое-либо простое число, не равное $p$.
Поскольку подгруппа $H$ не содержит элемента порядка $q$, то, согласно теореме 1.8, порядок $H$ не делится на $q$.
Значит порядок подгруппы $H$ равен $p^k$.

Поскольку подгруппа $H$ включает все элементы группы $G$, порядок которых является степенью $p$, то она является единственной подгруппой порядка $p^k$.

[Феликс Шмидель]

Порция 2

Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Определение
------------------

Абелева группа $G$ называется прямым произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.


Случай $m=1$ не исключается.
В целях ясности, дадим для этого случая отдельное определение: группа $G$ называется прямым произведением одной подгруппы $H_1$, если $G=H_1$.


Теорема 1.10
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Группа $G$ является прямым произведением этих подгрупп тогда и только тогда, когда для любых $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$ выполняется следующее условие:

(1) Если $h_1...h_m=e$ то $h_1=e$,...,$h_m=e$.

Доказательство:
---------------------

Пусть $G=H_1 ... H_m$ является прямым произведением.
Тогда единичный элемент $e$ однозначно представим виде произведения $e=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.
Значит, условие (1) выполняется, что и требовалось.

Пусть теперь условие (1) выполняется.
Покажем, что любой элемент $g \in G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$.
Пусть $g=h_1...h_m=a_1...a_m$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$ и $a_1 \in H_1, ..., a_m \in H_m$.
Тогда $(h_1 a_1^{-1})...(h_m a_m^{-1})=(h_1...h_m)(a_1...a_m)^{-1}=e$, и из условия (1) следует, что $h_1 a_1^{-1}=e, ..., h_m a_m^{-1}=e$.
Значит $h_1=a_1, ..., h_m=a_m$, что и требовалось.


Лемма 1.11
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$, где $m>1$.

Тогда любые две из этих подгрупп не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.

Доказательство:
---------------------

Предположим обратное, и пусть подгруппы $H_i$ и $H_j$ имеют общий элемент $a$, не равный $e$.
Тогда $e=h_1...h_m$, где $h_i=a, h_j=a^{-1}$, а остальные сомножители равны $e$.
Что противоречит условию (1) теоремы 1.10.


Теорема 1.12
-----------------

Пусть абелева группа $G$ является произведением подгрупп $H_1$ и $H_2$.
Это произведение является прямым тогда и только тогда когда подгруппы $H_1$ и $H_2$ не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.

Доказательство:
---------------------

Необходимость (только тогда) следует из леммы 1.11.

Пусть подгруппы $H_1$ и $H_2$ не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.
Покажем, что группа $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1$ и $H_2$.

Пусть $e=h_1 h_2$, где $h_1 \in H_1, h_2 \in H_2$.
Тогда $h_1$ и $h_2$ являются общими элементами подгрупп $H_1$ и $H_2$, поскольку $h_1=h_2^{-1} \in H_2$ и $h_2=h_1^{-1} \in H_1$.
Значит $h_1=e$ и $h_2=e$.

Таким образом, условие (1) теоремы 1.10 выполняется.
Согласно теореме 1.10, группа $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1$ и $H_2$.
Что и требовалось.


Лемма 1.13
----------------

Пусть $H_1, ..., H_m$ - конечные подгруппы абелевой группы $G$, где $m>1$.
Если порядки этих подгрупп попарно взаимно-просты, то произведение $H_1 ... H_m$ является прямым произведением.

Доказательство:
---------------------

Пусть $h_1...h_m=e$, где $h_1 \in H_1, ..., h_m \in H_m$.
Покажем, что $h_1=e, ..., h_m=e$.

Предположим обратное, и пусть $h_k \ne e$, где $k$ - некоторый индекс.

Пусть $a$ - элемент группы $G$, равный произведению всех элементов $h_1, ..., h_m$, кроме $h_k$.
Поскольку $h_1...h_m=e$, то $h_k a=e$.

Пусть $n$ - целое положительное число, равное произведение всех порядков $|H_1|, ..., |H_m|$, кроме $|H_k|$.
Поскольку число $|H_k|$ взаимно-просто с остальными числами из $|H_1|, ..., |H_m|$, то оно взаимно-просто и с их произведением $n$.

Поскольку $h_i^{|H_i|}=e$ для любого $i=1, ..., m$, то $h_k^{|H_k|}=e$ и $a^n=e$.
Следовательно $|H_k|$ делится на порядок элемента $h_k$, и $n$ делится на порядок элемента $a$.
Поскольку числа $|H_k|$ и $n$ - взаимно-просты, а порядки элементов $h_k$ и $a$ равны (так как $h_k a=e$), то порядок элемента $h_k$ равен 1.
Это противоречит тому, что $h_k \ne e$.

Значит, $h_1=e, ..., h_m=e$.

Значит условие (1) теоремы 1.10 выполняется.
Согласно этой теореме произведение $H_1 ... H_m$ является прямым произведением.


Теорема 1.14
-----------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$, где $p_1, ..., p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1, ..., H_m$ -подгруппы порядка $p_1^{k_1}, ..., p_m^{k_m}$.

Тогда группа $G$ равна прямому произведению подгрупп $H_1, ..., H_m$.

Доказательство:
---------------------

Если $m=1$, то $H_1=G$, следовательно группа $G$ равна прямому произведению одной подгруппы $H_1$.
Пусть $m>1$.

Согласно лемме 1.13, произведение подгрупп $H_1 ... H_m$ является прямым произведением.
Следовательно, порядок произведения $|H_1 ... H_m|$ равен произведению порядков $|H_1| ... |H_m|$.
Значит, $|H_1 ... H_m|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}=|G|$.
Значит, группа $G$ является произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Что и требовалось, поскольку это произведение является прямым произведением.


Определение
-----------------

Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^{k_1}...a_1^{k_n}=e$ следует $a_1^{k_1}=e$, ..., $a_n^{k_n}=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.


Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Это следует из теоремы 1.10.


Определение
-----------------

Будем говорить, что элементы $a_1, ..., a_n$ генерируют абелеву группу $G$, если любой её элемент $g$ представим в виде произведения степеней $a_1, ..., a_n$, то есть $g=a_1^{t_1} ... a_n^{t_n}$, где $t_1, ..., t_n$ - целые числа.


Определение
-----------------

Элементы $a_1, ..., a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они отличны от единицы $e$, независимы и генерируют группу $G$.


Теорема 1.15
-----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Пусть $C$ - произвольная циклическая подгруппа максимального порядка группы $H$.

Тогда $H$ представима в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп, одной из которых является $C$.

Доказательство:
---------------------

Предположим обратное, и пусть $H$ -конечная абелева группа наименьшего порядка $p^k$, не удовлетворяющая теореме 1.15.

Пусть $C$ - произвольная циклическая подгруппа максимального порядка группы $H$.
Пусть $g$ - генератор подгруппы $C$.

Согласно предположению, $H$ не является произведением одной циклической подгруппы $C$, поэтому $C \ne H$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент группы $H$, не принадлежащий подгруппе $C$.
Пусть $v$ - порядок смежного класса $a C$ в фактор-группе $H/C$.

Тогда $a^v \in C$, значит $a^v=g^n$, где $n$ - целое положительное число.
Пусть $n=n_1 n_2$, где $n_1$ не делится на $p$, а $n_2$ является степенью $p$.

Покажем, что $n_2 \geq v$.
Напомним, что $|a|$ обозначает порядок элемента $a$.
Поскольку $(a C)^{|a|}=a^{|a|} C=C$, то $|a|$ делится на $v$.
Поскольку $g^{n \frac{|a|}{v}}=a^{|a|}=e$, то $n \frac{|a|}{v}$ делится на $|C|$.
Следовательно $n_2 \frac{|a|}{v}$ делится на $|C|$ (поскольку $|C|$ является степенью $p$).
Значит $n_2 \frac{|a|}{v} \geq |C|$, следовательно $\frac{n_2}{v} \geq \frac{|C|}{|a|} \geq 1$.
Последнее неравенство выполняется в силу максимальности порядка циклической подгруппы $C$.
Значит $\frac{n_2}{v} \geq 1$, следовательно $n_2 \geq v$, что и требовалось.

Из неравенства $n_2 \geq v$ следует, что $n_2$ делится на $v$, поскольку целые положительные числа $n_2$ и $v$ являются степенями $p$.
Следовательно $n$ делится на $v$.

Покажем, что можно выбрать такой элемент $b \in a C$, что $b^v=e$.
Пусть $b=a g^{-n/v}$.
Тогда $b^v=a^v g^{-n}=g^n g^{-n}=e$, что и требовалось.

Поскольку $b^v=e$, то циклическая подгруппа группы $H$, генерированная элементом $b$ не имеет с подгруппой $C$ общих элементов, кроме $e$.
В самом деле, если $b^u \in C$, где $u$ - целое положительное число, то $(b C)^u=C$, следовательно $u$ делится на $v$, значит $b^u=e$.

В силу минимальности порядка $H$, фактор группа $H/C$ является прямым произведением циклических подгрупп, генерируемых элементами $b_1 C, ..., b_m C$, где элементы $b_1, ..., b_m$ не принадлежат $C$ и выбраны так, что генерируемые ими циклические подгруппы не имеют с $C$ общих элементов, кроме $e$.

Пусть $A_1$, ..., $A_m$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $b_1$, ..., $b_m$.

Покажем, что $H=A_1 ... A_m C$.
Пусть $h$ - любой элемент группы $H$.
Смежный класс $h C$ равен произведению степеней смежных классов $b_1 C, ..., b_m C$, следовательно $h C=a C$, где $a \in A_1 ... A_m$.
Поскольку $h \in h C$, то $h \in a C$.
Поскольку $h \in a C$ и $a \in A_1 ... A_m$, то $h \in A_1 ... A_m C$.
Что и требовалось.

Покажем, что произведение подгрупп $A_1 ...A_m C$ удовлетворяет условию (1) теоремы 1.10.
Пусть $a_1...a_m c=e$, где $a_1 \in A_1, ..., a_m \in A_m, c \in C$.
Тогда $(a_1 C)...(a_m C)=(a_1 ... a_m) C=c^{-1}C=C$.
Поскольку элементы $a_1, ..., a_m$ являются степенями соответственно элементов $b_1, ..., b_m$, то
смежные классы $a_1 C, ..., a_m C$ являются степенями соответственно смежных классов $b_1 C, ..., b_m C$.
Поскольку смежные классы $b_1 C, ..., b_m C$ независимы, то из $(a_1 C)...(a_m C)=C$ следует
$a_1 C=C, ..., a_m C=C$.
Значит $a_1 \in C, ..., a_m \in C$.
Значит $a_i$ является общим элементом подгрупп $A_i$ и $C$, значит $a_i=e$, для любого $i=1, ..., m$.
Поскольку $a_1...a_m c=e$, то и $c=e$.
Значит $a_1=e, ..., a_m=e, c=e$, что и требовалось.

Согласно теореме 1.10, группа $H$ является прямым произведением циклических подгрупп $A_1, ..., A_m$, C, что противоречит предположению.

[Феликс Шмидель]

Порция 3.

Если группа $H$ порядка $p^k$ не является циклической группой, то её разложение в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп не является однозначным.
Однако их колличество и порядки определены однозначно с точностью до перестановки.
Докажем эти утверждения.

Следующая лемма имеет вспомогательный характер.


Лемма 1.16
----------------

Пусть $A$ - циклическая группа порядка $p^n$, где $p$ - простое число и $n$ - целое положительное число.

Пусть $g$ - генератор группы $A$.

(1) Пусть $B=\{g^{1 p^{n-1}}, g^{2 p^{n-1}}, ..., g^{p p^{n-1}}\}$.

Тогда $B$ является множеством всех элементов $a \in A$, для которых $a^p=e$.
Количество этих элементов равно $p$.

(2) Пусть $C=\{g^{1 p}, g^{2 p}, ..., g^{p^{n-1} p}\}$.

Тогда $C$ является множеством всех элементов вида $a^p$, где $a \in A$.
Количество этих элементов равно $p^{n-1}$.

Доказательство:
---------------------

Имеем: $A=\{g^1, g^2, ..., g^{p^n}\}$.

Элемент $g^{p^n}$ равен единице $e$.

Покажем (1).

Пусть $a=g^k$ - любой элемент группы $A$, где $k$ - целое положительное число от $1$ до $p^n$.
Поскольку $a^p=g^{k p}$, то $a^p=e$ тогда и только тогда, когда $k p$ делится на порядок $g$, равный $p^n$.
А $k p$ делится на $p^n$ тогда и только тогда, когда $k$ делится на $p^{n-1}$.
Поскольку $k$ делится на $p^{n-1}$ тогда и только тогда, когда $g^k \in B$, то $a^p=e$ тогда и только тогда, когда $a \in B$.
Что и требовалось.

Покажем (2).

Любой элемент множества $B$ имеет вид $g^{t p}=(g^t)^p$, где $t$ - целое положительное число от $1$ до $p^{n-1}$.
Таким образом, любой элемент множества $B$ имеет вид $a^p$, где $a=g^t$.

Покажем, что любой элемент вида $a^p$, где $a \in A$, принадлежит $B$.
Пусть $a=g^k$ - любой элемент группы $A$, где $k$ - целое положительное число от $1$ до $p^n$.
Пусть $a^p=g^v$, где $v$ - целое положительное число от $1$ до $p^n$.
Тогда $a^p=g^{k p}=g^v$, следовательно $g^{k p-v}=e$, следовательно $k p-v$ делится на порядок $g$, равный $p^n$.
Следовательно $v$ делится на $p$.
Значит $a^p=g^v \in B$, что и требовалось.


Лемма 1.17
----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Пусть $H$ является прямым произведением нетривиальных циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$.

Тогда количество таких элементов $x \in H$, что $x^p=e$, равно $p^m$.

Доказательство:
---------------------

Любой элемент $x \in H$ однозначно представим в виде $x=a_1...a_m$, где $a_1 \in A_1, ..., a_m \in A_m$.

Покажем, что:

(I) $x^p=e$ тогда и только тогда, когда $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$.

Пусть $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$.
Тогда $x^p=(a_1...a_m)^p=a_1^p...a_m^p=e$.

Пусть теперь $x^p=e$.
Тогда $a_1^p...a_m^p=(a_1...a_m)^p=x^p=e$.
Поскольку $a_1^p \in A_1, ..., a_m^p \in A_m$ и $a_1^p...a_m^p=e$, то $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$, в силу условия (1) теоремы 1.10.
Что и требовалось.

Согласно утверждению (1) леммы 1.16, в каждой из циклических подгрупп $A_i$ имеется ровно $p$ таких элементов $a_i$, что $a_i^p=e$.

Значит:

(II) количество таких произведений $a_1...a_m$, что $a_1^p=e, ..., a_m^p=e$ равно $p^m$.

Из (I) и (II) следует, что количество таких элементов $x \in H$, что $x^p=e$, равно $p^m$.
Что и требовалось.


Теорема 1.18
-----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.

Пусть $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ - два разложения группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, то есть $|A_1|\geq...\geq |A_m|$ и $|B_1|\geq...\geq |B_m|$.

Тогда $|A_1|=|B_1$|, ..., $|A_m|=|B_m|$.

Доказательство:
----------------------

Предположим обратное, и пусть $H$ - абелева группа наименьшего порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число, для которой это не верно.

Тогда существуют такие два разложения $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, что $|A_i| \ne |B_i|$ для некоторого индекса $i$.

Перед выводом противоречия, сделаем отступление.

Для любой конечной абелевой группы $G$ обозначим $G^{(p)}$ множество элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Множество $G^{(p)}$ является подгруппой группы $G$.
Это следует из утверждения (2) теоремы 1.2, поскольку для любых элементов $a, b \in G^{(p)}: a b \in G^{(p)}$.

Покажем, что если $G$ - циклическая группа порядка $p^v$, где $v$ - целое положительное число, то $G^{(p)}$ - циклическая группа порядка $p^{v-1}$.
Пусть $G$ - циклическая группа порядка $p^v$.
Пусть $g$ - генератор группы $G$.
Согласно утверждению (2) леммы 1.16, $G^{(p)}=\{g^{1 p}, g^{2 p}, ..., g^{p^{v-1} p}\}$.
Порядок $|G^{(p)}|$ равен $p^{v-1}$.
Группа $G^{(p)}$ является циклической, поскольку генерируется элементом $g^{1 p}$.
Что и требовалось.

Приступим к выводу противоречия.

Имеем: $H^{(p)}=A_1^{(p)}...A_m^{(p)}=B_1^{(p)}...B_m^{(p)}$ - два разложения группы $H^{(p)}$ в прямое произведение циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков.

Поскольку $|H^{(p)}|=|A_1^{(p)}|...|A_m^{(p)}|<|A_1|...|A_m|=|H|$, то $|H^{(p)}|<|H|$.
Равенство $|H^{(p)}|=|A_1^{(p)}|...|A_m^{(p)}|$ также показывает, что $|H^{(p)}|$ является степенью $p$.
Это следует и из того, что группа $H^{(p)}$ является подгруппой группы $H$ порядка $p^k$.

Среди циклических подгрупп $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ могут быть тривиальные, но, в силу теоремы 1.17, количество нетривиальных подгрупп одинаково среди $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и среди $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$.
Обозначим это количество через $n$.
Если $n<m$, то все подгруппы $A_{n+1}^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_{n+1}^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ - тривиальные, откуда все циклические подгруппы $A_{n+1}$, ..., $A_m$ и $B_{n+1}$, ..., $B_m$ имеют одинаковый порядок $p$.
Если $n=0$, то это противоречит предположению.
Пусть $n>0$.
Поскольку $|H^{(p)}|<|H|$, то ввиду минимальности порядка группы $H$ имеем: $|A_1^{(p)}|=|B_1^{(p)}|$, ..., $|A_n^{(p)}|=|B_n^{(p)}|$, откуда $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_n|=|B_n|$.
Значит $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_m|=|B_m|$, что противоречит предположению.


Теорема 1.19
-----------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Если $H$ не является циклической группой, то её разложение в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп не является однозначным.

Доказательство:
----------------------

Пусть $H$ не является циклической группой.
Пусть $H=H_1 ... H_m$ - разложение группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп.

Тогда $m>1$.

Из теорем 1.15 и 1.18 следует, что одна из подгрупп $H_1, ..., H_m$ является циклической подгруппой максимального порядка.

Наша задача найти циклическую подгруппу максимального порядка $C$ не совпадающую ни с одной из подгрупп $H_1, ..., H_m$.

Пусть $h_1, ..., h_m$ - генераторы соответственно подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Пусть $c=h_1 ... h_m$, и пусть $C$ - циклическая подгруппа, генерированная элементом $c$.

Покажем, что $|c|$ делится на $|h_1|, ..., |h_m|$.
Имеем: $h_1^{|c|} ... h_m^{|c|}=c^{|c|}=e$.
Поскольку $h_1^{|c|} \in H_1, ..., h_m^{|c|} \in H_m$ и $h_1^{|c|} ... h_m^{|c|}=e$, то $h_1^{|c|}=e, ..., h_m^{|c|}=e$ в силу условия (1) теоремы 1.10.
Следовательно, $|c|$ делится на $|h_1|, ..., |h_m|$.
Что и требовалось.

Значит $|C|$ делится на $|H_1|, ..., |H_m|$.
Следовательно, $|C|$ не меньше наибольшего из порядков $|H_1|, ..., |H_m|$.
Значит $C$ - циклическая подгруппа максимального порядка, поскольку этот максимальный порядок находится среди порядков $|H_1|, ..., |H_m|$.

Покажем, что $C$ не совпадает ни с одной из подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Предположим обратное, что $C=H_i$.
Тогда $c=a_1 ... a_m$, где $a_i=c \in H_i$, а остальные сомножители равны $e$.
Это противоречит однозначности представления $c$ в виде произведения $c=d_1 ... d_m$, где $d_1 \in H_1, ..., d_m \in H_m$, поскольку $c=h_1 ... h_m$ - другое представление, в котором среди сомножителей нет $e$.
Что и требовалось.

Значит $C$ - циклическая подгруппа максимального порядка, не совпадающая ни с одной из подгрупп $H_1, ..., H_m$.
Согласно теореме 1.15, существует разложение группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, одной из которых является $C$.
Это разложение отлично от разложения $H=H_1 ... H_m$.
Что и требовалось.