Подбор аппроксимационной функции

[mrbus]

Толком ничего не нашел по неполиномиальной многомерной аппроксимации.
У меня есть специфические требования к аппроксимационной функции, например: по определенным измерениям (не по всем!) функция должна быть монотонной (или почти монотонной) и почти горизонтальной на краях области, т. е. она будет напоминать что-то вроде arctg или даже кубический корень. Нужно так подобрать функцию, чтобы (1) по другим измерениям она вела себя достаточно произвольно, (2) тупо брать арктангенс не хочется, т. к. возможны мелкие отклонения от монотонности, да и форма может оказаться сложнее.
Понятно, что полином брать нельзя - они на краях области себя плохо ведут, вместо того чтобы сглаживаться в горизонталь, начинают беситься.
Как тут выбрать хорошую функцию, и главное, как потом коэффициенты определять... Наверное, должны быть какие-то общие рекомендации, общие соображения?

[Vince Diesel]

Метод (нелинейный) наименьших квадратов не подходит? Берутся функции с нужными свойствами (например, монотонность по одной переменной), а коэффициенты подгоняются. Матпакеты умеют это делать.

[mrbus]

Мне нужны формулы, алгоритмы, т. к. аппроксимация будет выполняться программно, причем требуется быстродействие в режиме реального времени.

[Алексей К.]

Метод (нелинейный) наименьших квадратов не подходит? Берутся функции с нужными свойствами (например, монотонность по одной переменной), а коэффициенты подгоняются. Формулы наверняка имеютя в книжках (ссылок не имею, по нужде быстренько выписывал сам), готовых алгоритмов можно наковырять в интренетах. Их основа --- решение линейных систем (да, линейных, хоть и для нелинейного МНК).

mrbus в сообщении #860102 писал(а):

тупо брать арктангенс не хочется, т. к. возможны мелкие отклонения от монотонности...

Если они возможны только в данных, то это естественно, и это не значит, что эти мелкие отклонения необходимо тащить в модель, т.е. в аппроксимирующую функцию.
Ну и, полагаю, придумать модель по описанию "мелкие отклонения от монотонности, да и форма может оказаться сложнее" вряд ли кто возьмётся. Захочется копнуть изучаемое явление, типа физику оного. Или характер данных: есть там явная шумовая компонента, или нет таковой, или...

[mrbus]

В общем, согласен, шумоподобные мелочи в модель тащить не буду.
Да и поторопился я с заявлением о монотонности - надо еще "ручками" поплотнее поисследовать данные. Но общее требование - чтобы на краях функция была пологой - остается.
А вот общего метода подбора коэффициентов для нелинейного МНК так и не нашел. Да и не будет там линейной системы. Видимо, придется численными методами решать. Если не прав, поправьте, и дайте ссылки - буду весьма благодарен.

[Vince Diesel]

Вот, например, описание в вики: Non-linear least squares. Также поиск по строке
"нелинейный метод наименьших квадратов" алгоритм
выдает много ссылок.

А еще можно таки использовать матпакеты. Конечно, надо разбираться, как вызывать из других программ соотв. процедуры, зато там уже все реализовано и оттестировано.