Связь открытости и плотности

[korobka]

Здравствуйте!
Во многих задачниках по функциональному анализу и топологии есть задача "Докажите, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно".
Как доказать её без привлечения топологии?

Уже доказал:
1) Что дополнение к всюду плотному множеству не обязательно нигде не плотно (пример с рациональными числами)
2) Что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно.

Вопросов два: как это, собственно, доказать и почему если задать ограничение контрпримера из первого пункта на какой-нибудь открытый интервал, то контрпример не работает?

Спасибо

[provincialka]

korobka в сообщении #859618 писал(а):

если задать ограничение контрпримера из первого пункта на какой-нибудь открытый интервал, то контрпример не работает?

Что вы понимаете под "ограничением" и что не работает?

-- 06.05.2014, 02:20 --

korobka в сообщении #859618 писал(а):

Как доказать её без привлечения топологии?

В смысле? Доказывать топологические свойства без привлечения топологии?

[korobka]

Контрпример заключается в следующем:

Возьмём множество рациональных чисел на действительной прямой — оно всюду плотно на ней.
Дополнением до множества рациональных чисел является, очевидно, множество иррациональных чисел, которое также всюду плотно.

Теперь, если взять интервал $(0;1)$ (открытое множество) вместо действительной прямой и рассмотреть вышеизложенный пример на нём, то в дополнении к $\mathbb{Q}$ будут лежать 0, 1 и иррациональные числа. Ведь это тоже всюду плотное множество! Но тогда непонятно, что доказывать, если приведён контрпример.

[provincialka]

Совсем другое. В условии сказано, что исследуемое множество должно быть не только всюду плотным, но и открытым. Это очень сильное ограничение. Разве множество рациональных чисел, пусть даже на промежутке, открыто?

[korobka]

-- 06.05.2014, 02:20 --

korobka в сообщении #859618 писал(а):

Как доказать её без привлечения топологии?

В смысле? Доказывать топологические свойства без привлечения топологии?[/quote]


Данную теорему нам нужно доказать в курсе мат.анализа, используя совсем не топологические определения нигде не плотности, всюду плотности, открытости и замкнутости. Могу привести эти определения.

Лекция писал(а):

Назовём множество А открытым, если для любой точки множества А существует некоторая окрестность этой точки, полностью лежащая во множестве А

Лекция писал(а):

А — замкнутое, если содержит все свои предельные точки.

Лекция писал(а):

Назовём А нигде не плотным во множестве Х, если для любой точки множества А в любой её окрестности найдётся подокрестность, полностью свободная от точек можества А

Лекция писал(а):

Назовём множество А всюду плотным во множестве Х, если для любой точки множества Х в любой её окрестности найдутся точки множества А

Опираясь на четыре определения (и, возможно, описанные выше факты), нужно доказать это утверждение.

-- 06.05.2014, 01:33 --

Действительно, не открытто.

Однако как доказать? Дополнение обязательно замкнуто, а дальше — тупик.

[Toucan]

korobka, устное замечание за неправильное цитирование: в заголовке цитаты отсутствует ссылка на цитируемое сообщение.

Для того чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.

[provincialka]

Все приведенные вами определения вполне топологические. Матанализ использует некоторые понятия и теоремы топологии. Другое дело, что может рассматриваться частный случай топологии на прямой или в $\mathbb R^n$. Но об этом вы как раз не сказали.

[korobka]

Да, не сказал, прошу прощения.

Подскажите, пожалуйста, как действовать? Отталкиваться ли от того, что дополнение замкнуто? А какой в этом прок?

[provincialka]

Никакого прока. Подумайте, что изменит открытость в определении всюду плотного множества. И как это отразится на его дополнении?

[Narn]

По-моему, проще всего воспользоваться эквивалентным определением нигде не плотного множества: множество нигде не плотно, если его замыкание не имеет внутренних точек. Так как дополнение замкнуто, его замыкание --- это оно само. Ну и от противного сразу получится доказательство.

[korobka]

А можно вот так?

Множество открыто, значит, какая-то из окрестностей точки множества состоит только из точек данного множества

Значит некоторая область в дополнении (там, где была сама точка и её окрестность) не будет содержать вообще ничего.

Так как такую окрестность мы можем выбрать для всех точек всюду плотного множества, то дополнение будет нигде не плотным.

[provincialka]

Ну, идея правильная, только изложить поаккуратнее.