параметрезация поверхности

[loshka]

Здравствуйте.
Решаю задачку где нужно для поверхности $x=f(\sqrt{x^2+y^2})$ Найти среднею и гауссову кривизну

Возникла проблема с параметризацией если рассматривать как $r(x,y)=(f(\sqrt{x^2+y^2}); y;??? ) $

Подскажите пожалуйста что должно быть на месте третье функции?? Думал просто поставить $z$ Но как-то совсем в этом не уверен

[provincialka]

Именно $z$. Дело не в том, что поставить на третье место. Дело в том, что $(x,y)$ нельзя брать за параметры, так как они зависимы. Раз у вас $z$ не присутствует в уравнении, то это цилиндр, параллельный оси $z$.

[loshka]

оу, если нельзя брать $(x,y)$ за параметры, то как параметризировать ?

[provincialka]

Ну, возьмите $(x,z)$. Или $(y,z)$. Или $(\varphi,z)$. Или $(\rho,z)$, где $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$

[loshka]

оу, эм, напомните пожалуйста теорему или определение, почему зависимые между собой величины не могут выступать в качестве параметров, а то меня это как-то в ступор ввело
Раз $(x;y)$ нельзя брать за параметры, то как тогда обойтись без обратного отображения для параметризации?

[provincialka]

А почему могут? Что вообще такое параметризация поверхности?
Ведь задача в том, чтобы описать любую точку поверхности через пару координат $(u,v)$. Если вы выберете значение $x$, то и $y$ будет зафиксировано. То есть фактически получится одна независимая переменная. Но одна независимая переменная описывает линию, а не поверхность.

Если нужна теория - посмотрите что-нибудь по неявным функциям.

[svv]

Мне кажется, в книге опечатка и должно быть $z=f(\sqrt{x^2+y^2})$.

[loshka]

Здравствуйте svv
Тоже думал, что опечатка, но не смог найти подтверждения, не нашел позже 2004 издания задачники, а в ранних нет этой задачи.
Все-таки придется походу решать задачу, как написано в задачнике ,не понимаю,как параметризировать без использования обратного отображения

все-таки я не понимаю разницы, возьму $p=\sqrt{x^2+y^2}$ тогда если взять за параметры $(p,z)$ то параметризация $r(p,z)=(f(p);p;z)$ Чем она отличается от приведенной мною ранее, зафиксировал $p$ тогда и $f(p)$ фиксировано, тоже самое же вроде

-- 05.05.2014, 14:26 --

оу, походу понял

[provincialka]

$r(p,z)=(f(p);p;z)$ А почему на втором месте $p$? Я так понимаю, что $r=(x,y,z)$?
Можно рассуждать так. $p\cos\varphi =f(p)$, откуда $\cos\varphi=\frac{f(p)}{p}, \sin\varphi=\pm\sqrt{1-\frac{f^2(p)}{p^2}}$. Тогда $y=\pm p\sqrt{1-\frac{f^2(p)}{p^2}}$

Все-таки похоже на опечатку. Правда, в вашем варианте получаем развертывающуюся поверхность (цилиндр), так что с вычислением Гауссовой кривизны проблемы не будет.

[loshka]

Спасибо)

[svv]

Задача четко делится на две части:
1) Найти кривизну со знаком $k$ плоской кривой $x=f(\sqrt{x^2+y^2})$.
2) Показать, что средняя кривизна $H=k$ (в определении Мищенко и Фоменко нет множителя $1/2$), а гауссова кривизна равна ясно чему.