Первые интегралы

[marqueewinq]

Есть автономная система, у неё надо найти два первых интеграла.
Первый нашел легко, а второй не получается.

$x' = -(x + y)\\ y' = y\\ z' = z + (2x + y) y^3 \cos y$

Собственно, вот один из нужных: $xy + y^2/2$.

[luthor76]

$$ \begin{array}{l} x \cdot y +y^2/2 = C/2 \\ \dfrac{dy}{y}=\dfrac{dz}{z+C\cdot y^2\cos(y)} \\ \dfrac{dz}{dy}=\dfrac{z}{y}+C\cdot y \cos(y) \end{array} $$

А теперь попробуем догадаться, например, предположим, что $z(y)=C\cdot y\cdot\sin(y)+C_1\cdot y$; $C_1$ - новая другая константа.

Подставляя в последнее уравнение, получаем:

$$ \dfrac{C\cdot y \cdot \sin(y)}{y}+C\cdot y\cdot \cos(y)+C_1 = C\sin(y)+C\cdot y\cdot\cos(y)+C_1 \end{array} $$

Таким образом, искомые первые интегралы (Здесь $C$ константа общая..., $C_1$ - другая независимая):

$$ \begin{array}{l} 2\cdot x\cdot y+y^2=C \\ z=C\cdot y \cdot \sin(y)+C_1\cdot y \end{array} $$

[Deggial]

luthor76, предупреждение за полное решение учебной задачи.