Уравнение в целых числах

[Ktina]

Решить в целых числах уравнение:

$$3^m-2^n=17$$

[Andrey A]

Ktina в сообщении #859245 писал(а):

$$3^m-2^n=17$$

Запишем так: $3^m\approx 2^n$ и прологарифмируем обе части.
$m\ln 3 \approx n \ln 2$ или $\log 3_2\approx \frac{n}{m}$. Разложим в непрерывную дробь (без этого никак):

$\log 3_2 = 1,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,... = \frac{1}{1};\frac{2}{1};\frac{3}{2};\frac{8}{5};\frac{19}{12};\frac{65}{41};...$
Решение $3^4-2^6=17$ пропорционально третьей дроби. Дальше остатки растут, и при наличии еще одного решения наблюдался бы резкий скачек, чего не видно ($23$ для десятого знака уже явно не достаточно). Впрочем, приходится полагаться на точность калькулятора, как раскладывать логарифмы никто не знает.

[provincialka]

Andrey A, такие задачи не решают на калькуляторе. Есть разные теоретико-числовые методы. Сравнение остатков, например. Скажем, проверим остаток от деления на 3: получаем, что $2^n$ имеет остаток 1, это равносильно тому, что $n$ - четное. Аналогично можно проверить остатки от деления на 9, 27,... 2, 4, 8, ... Есть и другие рассуждения.

[Andrey A]

provincialka в сообщении #859315 писал(а):

Сравнение остатков, например.

Теория сравнений хорошо указывает на отсутствие решений, а тут одно имеется.

[Shadow]

Теория сравнений хорошо указывает, что $n,m$ - четные (по модулям 3 и 4), левая часть-разность квадратов, правая - простое число.

[Andrey A]

Спасибо, вижу.