Геометрическое распределение вероятностей

[tech]

Здравствуйте. Имеется следующее задание:
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $P(\xi=k)=P(\eta=k)=pq^{k-1}$
$q=1-p,\ 0<p<1,\ k=1,\ 2,..$
Найти $P(\xi>\eta)$.
Я нашёл $P(\xi=\eta)=\frac{p}{1+q}$
$P(\xi>\eta)+P(\xi<\eta)+P(\xi=\eta)=1$
Но как доказать, что $P(\xi>\eta)=P(\xi<\eta)$?
Вроде бы понятно, что $\xi$ и $\eta$ – одно и то же с точностью до обозначения, но всё же, может быть, можно доказать это строго?

[MaxWriter]

tech в сообщении #858831 писал(а):

Здравствуйте. Имеется следующее задание:
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $P(\xi=k)=P(\eta=k)=pq^{k-1}$
$q=1-p,\ 0<p<1,\ k=1,\ 2,..$
Найти $P(\xi>\eta)$.
Я нашёл $P(\xi=\eta)=\frac{p}{1+q}$
$P(\xi>\eta)+P(\xi<\eta)+P(\xi=\eta)=1$
Но как доказать, что $P(\xi>\eta)=P(\xi<\eta)$?
Вроде бы понятно, что $\xi$ и $\eta$ – одно и то же с точностью до обозначения, но всё же, может быть, можно доказать это строго?

Здравствуйте. Я бы использовал, что $P(\xi>\eta)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} P(\xi>\eta,\eta=k)$ и далее, воспользовавшись независимостью, посчитать суммы которые получатся.

[iifat]

Ну, $\xi>\eta$ — это некое множество пар, для каждой из которых задана вероятность (кои надо просуммировать). Если установить взаимнооднозначное соответствие с множеством пар $\xi<\eta$, такое чтоб вероятности соответствующих пар совпадали, то это, имхо, и будет доказательством.

[tech]

MaxWriter в сообщении #858856 писал(а):

Я бы использовал, что $P(\xi>\eta)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} P(\xi>\eta,\eta=k)$ и далее, воспользовавшись независимостью, посчитать суммы которые получатся.

Точно! Я же точно так же находил $P(\xi>\eta)$, а здесь что-то не додумался.
Большое спасибо.

[Otta]

tech
Зачем? Это усложнение задачи. Вы верно отметили соображение, про которое говорят "по соображениям симметрии". iifat достаточно подробно написал, как ее обосновать, хотя она и так очевидна.

-- 04.05.2014, 19:47 --

tech в сообщении #858878 писал(а):

Я же точно так же находил $P(\xi>\eta)$

Вы что-то другое находили, если более ранним постам верить.

[tech]

Otta
Да, опечатался. Там должно быть $P(\xi=\eta)$.
Доказательство iifat я не совсем понял (или совсем не понял). Почему мы можем установить между между этими парами взаимооднозначное соответствие?

[iifat]

Как интересно вы формулируете вопрос. Ну, можем, потому что уголовным кодексом не запрещено. Не видите? Попробуйте выписать несколько представителей $\xi>\eta$ и $\xi<\eta$ с их вероятностями.

[--mS--]

В силу независимости (и одинаковой распределённости) компонент распределение векторов $(\xi,\,\eta)$ и $(\eta,\,\xi)$ одинаково:

$$\mathsf P(\xi \in A,\, \eta \in B) = \mathsf P(\xi \in A)\mathsf P(\eta \in B) = \mathsf P(\eta \in A)\mathsf P(\xi \in B) = \mathsf P(\eta \in A, \, \xi \in B). $$

Поэтому одинаковы будут любые вероятности для этих двух векторов. Например, $\mathsf P((\xi,\,\eta)\in (-\infty,\,0))=\mathsf P((\eta,\,\xi)\in (-\infty,\,0))$.

[tech]

iifat,
--mS--,
Вот теперь я понял. Спасибо большое.

[--mS--]

Только что-то странное я тут написала:

--mS-- в сообщении #859331 писал(а):

Например, $\mathsf P((\xi,\,\eta)\in (-\infty,\,0))=\mathsf P((\eta,\,\xi)\in (-\infty,\,0))$.

Конечно, имелось в виду попадание пары в множество $\{(x,y)\,:\, x-y<0\}$.