Внешний дифференциал

[Sicker]

Можете дать инвариантное геометрическое определение внешнего дифференциала, только не в лоб покоординатно дифференцируя с использование правила косого произведения? Читаю Арнольда, у него непонятно описывается
И что такое цепи и коцепи можете объяснить?

[lena7]

Это единственное отображение $\Omega^p(M)\to \Omega^{p+1}(M)$, удовлетворяющее свойствам:
1) для 0-форм (гладких функций) это дифференциал,
2) $d(\alpha+\beta)=d\alpha+d\beta$,
2) $d(\alpha\wedge \beta)=d\alpha\wedge \beta+(-1)^k\,\alpha\wedge d\beta$, где $k$ -- степень $\alpha$,
3) $d^2=0$.

[Sicker]

да еклмн, я просил геометрически
а это тоже самое, что и при обычном дифференцировании

[Brukvalub]

А разве есть "более инвариантное" определение, чем то, которое дала lena7?

[Sicker]

но я хотел геометрическое

[Oleg Zubelevich]

ну можно еще через ковариантные производные определить, а потом доказать, что внешний дифференциал не зависит от выбора симметрической связности. Только зачем? ТС сам не понимает чего спрашивает и не поймет.

[Sicker]

ну определите
и заодно помогите понять

[svv]

Внешним дифференциалом $k$-формы $\omega$ на многообразии $M$ называется такая $(k+1)$-форма $d\omega$, что
$\int\limits_{\sigma}d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega$
для любого куска $\sigma$ гладкого $(k+1)$-мерного подмногообразия $D\subset M$.
Конечно, надо доказывать существование, единственность.

[Sicker]

вот то что я и хотел услышать
ну с существованием понятно, а как единственность доказать?

[hjury]

svv в сообщении #858925 писал(а):

Внешним дифференциалом $k$-формы $\omega$ на многообразии $M$ называется такая $(k+1)$-форма $d\omega$, что
$\int\limits_{\sigma}d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega$
для любого куска $\sigma$ гладкого $(k+1)$-мерного подмногообразия $D\subset M$.
Конечно, надо доказывать существование, единственность.

Это же вроде теорема Стокса, или я что-то путаю?

[Otta]

"Навыворот".

[hjury]

Цитата:

"Навыворот".

Не понимаю, чем не устраивает стандартное определение.

[Brukvalub]

svv в сообщении #858925 писал(а):

Внешним дифференциалом $k$-формы $\omega$ на многообразии $M$ называется такая $(k+1)$-форма $d\omega$, что
$\int\limits_{\sigma}d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega$
для любого куска $\sigma$ гладкого $(k+1)$-мерного подмногообразия $D\subset M$.
Конечно, надо доказывать существование, единственность.

Помнится мне, наш лектор здесь еще про какую-то ориентацию (точно, что не сексуальную!) бормотал.

[svv]

Brukvalub
Да, да, кусок ориентированный.

Sicker
Пусть для краткости $k+1=p$.
Допустим, существует две таких $p$-формы:
$\int\limits_{\sigma}\alpha_1=\int\limits_{\sigma}\alpha_2=\int\limits_{\partial\sigma}\omega$.
Тогда для любого $p$-мерного (с какими-нужно-свойствами) куска $\sigma$
$\int\limits_{\sigma}\alpha=0$,
где $\alpha=\alpha_2-\alpha_1$.
Сможете доказать, что тогда и сама $p$-форма $\alpha=0$?

[Munin]

Sicker
Тензоры знаете? Вот всякая $k$-форма - это тензор с $k$ нижними индексами, полностью по ним антисимметричный. Соответственно, $k\leqslant n$ - размерность пространства, а все последующие ранги тождественно нули.