ВКБ спектр гауссовой ямы

[DewDrop]

Для гауссовой потенциальной ямы: $U(x)=-U_0 exp^{-\frac{x^2}{2a^2}}$
вычислить методом ВКБ( с тремя десятичными знаками) относительные энергии связи $\varepsilon_i=\frac {E} {|U_0|}$ основного (i=0) и первого возбужденного (i=1) состояний при значении борновского параметра $B=\frac {2mU_0 a^2} {h^2}$.
Я считаю по формуле $\int \sqrt {E-U(x)}dx = \pi h (n+1/2)$. Но интеграл посчитать не получается. Что я делаю не так, а если так то как взять интеграл?

[Ms-dos4]

Видимо численно.
P.S.Что подразумевается под борновским параметром?

[DewDrop]

Ms-dos4
Я специально его формулой записал, он равен 3, я забыл дописать(сори). Смысла не несет, нужен для численного ответа

[warlock66613]

DewDrop в сообщении #858909 писал(а):

как взять интеграл?

Как уже было сказано, вам надо взять его численно. Точнее вам нужно численно найти функцию - зависимость величины этого интеграла от $E$ (а ещё точнее от $\varepsilon$).

[Red_Herring]

Задача производит странное впечатление. Постараюсь пояснить.

Для этого посмотрим, откуда задача возникла. Берем оператор Шредингера:

$$-\frac{h^2}{2m}\partial^2 - U_0 \exp (-x^2/2a^2)$$

и хотим найти его два нижних собственных значения, так? Избавляемся от лишних параметров: меняем $x/a$ на $x$ и выносим $U_0$ за скобки:

$$U_0\Bigl(-\hbar^2\partial^2 - \exp (-x^2/2)\Bigr)$$

где $\hbar^2 = h^2/2mU_0a^2$ тот самый Борновский параметр в степени $-1$. В этой задаче реальным семиклассическим параметром является $\hbar$ который здесь отнюдь не мал; если бы он был мал, то формула квантования Бора-Зоммерфельда давала бы хорошее приближение, а так нет (эта формула абсолютно точна для квадратичных потенциалов). Смысла считать с большой точностью нет.

[DewDrop]

Спасибо)

[Red_Herring]

Кстати, вовсе не факт, что этот оператор имеет хотя бы 2 отрицательные собственные значения (неотрицательный спектр непрерывен). Доказать, что хотя бы одно есть (при Борновском параметре > 1) —несложно.