Теорема (связь интеграла и max значения производной)

[Mike6496]

Дано: $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на $[a;b], f(a)=f(b)=0$
Доказать: $ \max_{x\in[a;b]}|f'(x)| \ge \frac{4}{(b-a)^2} \int_{a}^{b}|f(x)|dx $
Правую часть расписал так: интеграл - по формуле Ньютона-Лейбница, далее по т. Лагранжа получаем: $ 4\cdot f^2(c) \cdot \frac{1}{F(a)-F(b)}$ где $c \in [a;b]$.
Насчет левой части неравенства вообще идей нет. Возможно, есть какая-то теорема про максимальное значение производной, но я не нашел ни в интернете, ни в учебной литературе.

[nikvic]

Ограничьте функцию двузвенной "ломаной".

[ewert]

Mike6496 в сообщении #855986 писал(а):

Доказать: $ \max_{x\in[a;b]}|f'(x)| \ge \frac{4}{(b-a)^2} \int_{a}^{b}|f(x)|dx$

Во-первых, перемасштабируйте (чтоб меньше мучиться) условие на: $\max\limits_{x\in[0;1]}|f'(x)| \geqslant 4\int\limits_0^1|f(x)|\,dx$. Во-вторых, переформулируйте это условие так: если $|f'(x)|\leqslant a\ (\forall x\in[0;1])$, то $\int\limits_0^1|f(x)|\,dx\leqslant\frac{a}4.$ Затем -- да, ломаная.

[Евгений Машеров]

А то, что максимум не меньше среднего значения - не поможет?

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #858204 писал(а):

А то, что максимум не меньше среднего значения - не поможет?

А как оно может помочь, если та оценка -- точная и "достигается" отнюдь не на константе?...

[Евгений Машеров]

На константе абсолютного значения производной...

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #858225 писал(а):

На константе абсолютного значения производной...

И при чём тут среднее значение функции?...

И в любом случае ничего изобретать тут не нужно -- достаточно тупо оценить рост функции вглубь отрезка от правого конца и от левого.