Как расположена плоскость?

[Otta]

)) Ну почти. Вы граничные условия видели? Не видели. Посмотрите на них еще раз. Там ведь даже неравенства стоят. Даже в нужные стороны.

[geezer]

А,точно,там,где $ dz $,надо пределы местами поменять...

[Otta]

Вот-вот.
Решайте третий пункт. Второй оставьте напоследок.

[geezer]

$ \int_{0}^{1} dz \int_{1-z}^{} dy \int_{y^2}^{\frac{y+1}{2}} f(x,y,z) dx $

Никак не пойму,что представляет собой кривая,которая ограничивает сверху во втором интеграле...

Проекция вышла какая-то такая:

[Otta]

Нет, этот тоже неправильный.
Кривая. А откуда она берется, эта кривая? Это чья проекция?

[geezer]

Линия пересечения плоскостей проецируется как $ z = 1 - y $

Вообще, ту кривую я взял с рисунка forexx...

Если подумать,то ведь проекция всего цилиндра на плоскость $ ZOY $ - прямоугольник.

Нам надо спроецировать нашу область на $ ZOY $,а получается она вырезанием из цилиндра.

Поэтому,предполагаю,что будет нечто такое.

[Otta]

geezer в сообщении #858105 писал(а):

Если подумать,то ведь проекция всего цилиндра на плоскость $ ZOY $ - прямоугольник.

С каких это пор?
Как устроен Ваш цилиндр?

geezer в сообщении #858105 писал(а):

Вообще, ту кривую я взял с рисунка forexx...

А теперь надо понять, откуда она берется, аналитически. Потому что Вам нужно ее уравнение.

[geezer]

Цитата:

А теперь надо понять, откуда она берется, аналитически. Потому что Вам нужно ее уравнение.

Получилось такое уравнение
$ z = 1 - 2y^2 + y $

[Otta]

Да, так и есть. А теперь попробуйте расставить пределы не в нужном порядке, а в порядке $(y,z,x)$ сначала.

[geezer]

$ \int_{0}^{1} dy \int_{1-y}^{1-2y^2+y} dz \int_{y^2}^{\frac{1}{2}(1-z+y)} f(x,y,z) dx $

[Otta]

Верно. А вот теперь в порядке $(z,y,x)$.

[geezer]

Там ведь сумма интегралов выходит?

$ z = 1 - 2y^2 + y; 2y^2 - y + (z - 1) = 0; D = 9 - 8z $

$y_1 = \frac{1+\sqrt{9 - 8z}}{4} $

$y_2 = \frac{1-\sqrt{9 - 8z}}{4} $

$ y = 1; z = 0 $ - эта точка на $ y_1 $

$ y = 0; z = 1 $ - эта точка на $ y_2 $

Или я в чем-то заблуждаюсь?

[Otta]

Да. Но у Вас бонус: $x$ над всей проекцией области меняется одинаково, и Вы даже уже выяснили, как.

-- 02.05.2014, 16:26 --

geezer в сообщении #858132 писал(а):

Или я в чем-то заблуждаюсь?

А это мы не выясним, пока Вы не расставите пределы.

[geezer]

$ \int_{0}^{1} dz \int_{1-z}^{\frac{1-\sqrt{9-8z}}{4}} dy \int_{y^2}^{\frac{1}{2}(1-2x+y)}f(x,y,z) dx + \int_{0}^{1} dz \int_{1-z}^{\frac{1+\sqrt{9-8z}}{4}} dy \int_{y^2}^{\frac{1}{2}(1-2x+y)}f(x,y,z) dx $

[Otta]

Двойные интегралы тоже прогуляли?
Пока:
Интеграл по проекции запишите в порядке $(z,y)$. Только по проекции. Двойной интеграл.