Криволинейные координаты

[Katmandu]

Всякие три числа $q_1, q_2, q_3$, однозначно определяющие положение точки в пространстве, можно рассматривать как координаты этой точки. Эти числа называют криволинейными координатами.

Связь между декартовыми и криволинейными координатами задается следующим образом:

$$ r = r(q_1,q_2,q_3) = x \vec {i} + y \vec {j}+z \vec {k} $$

, где $x,y,z$ - функции от $q_1,q_2,q_3$, которые считаем дважды непрерывно дифференцируемыми.

Далее
Единичный вектор может быть записан в виде.

$$ \vec {e_i} = \frac 1 {H_i} \frac {\partial \vec r} {\partial q_i} $$

$$ \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_i} = \frac {\partial x} {\partial q_i} \vec{i} + \frac {\partial y} {\partial q_i} \vec{i} + \frac {\partial z} {\partial q_i} \vec{i} $$

Величины $H_i$ назвали коэффициентами Ламе.

Далее рассматривают, что все $e_i$ взаимно ортогональны. То есть рассматривают ортогональные криволинейные системы координат.
Найдем проекции $v_{q_i}$ на оси криволинейных координат.

$$ \vec v = \frac {d \vec r} {dt} = \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_1} \dot {q_1} + \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_2} \dot {q_2} + \frac {\partial \vec{r}} {\partial q_3} \dot {q_3} = v_{q_1} \vec {e_1} + v_{q_2} \vec {e_2} + v_{q_3} \vec {e_3} $$

где $ v_{q_i} = H_i \dot {q_i} $


Это была теория. А на практике дело почему-то обстоит не так то просто.
Рассмотрим полярную систему координат.

$$ r = r(t) = q_1(t), \varphi = \varphi (t) = q_2(t) , x = r\cos{\varphi}, y = r\sin{\varphi}$$

Находим коэффициенты Ламе:

$$ H_{\varphi} = r \dot {\varphi}, H_r = \dot r $$

Далее вычисляем скорость по формуле, которая дана в теории выше.

$$ \vec v = \frac {d \vec r} {dt} = H_r \dot r \vec{e_r} + H_{\varphi} \dot {\varphi} \vec {e_{\varphi}} = {\dot r}^2 \vec{e_r} + r {\dot {\varphi}}^2 \vec{e_{\varphi}} $$

то есть $ v_r = {\dot r}^2 $ , а $$ v_{\varphi} = r {\dot {\varphi}}^2 $

хотя должно получиться $ v_r = {\dot r}, v_{\varphi} = r {\dot {\varphi}} $

В чем же может быть ошибка

[Nirowulf]

Katmandu в сообщении #858067 писал(а):

В чем же может быть ошибка

В коэффициентах Ламе. По идее они такие

$$H_r=1, H_\varphi=r.$$

Тогда всё получается.

[Katmandu]

$$ H_i = \left| {\frac {\partial \vec {r}} {\partial q_i} } \right| = \sqrt { \left( \frac {\partial x} {\partial q_i} \right) ^2 + \left( \frac {\partial y} {\partial q_i} \right) ^2 + \left( \frac {\partial z} {\partial q_i} \right) ^2 } $$

Тогда

$$ H_r = \sqrt { \left( \frac {\partial x} {\partial r} \right) ^2 + \left( \frac {\partial y} {\partial r} \right) ^2 } =1 $$

И правда равняется 1.

тут я понял свою ошибку... Да и во втором тоже..
просто думал что

$$ \frac {\partial ( r\cos{\varphi})} {\partial r} = \dot r \cos \varphi $$

так как $ r = r(t) $ а на самом то деле

$$ \frac {\partial ( r\cos{\varphi})} {\partial r} = \cos \varphi $$

$$ \frac {d( r\cos{\varphi})} {dt} = \dot r \cos \varphi $$

[warlock66613]

Katmandu в сообщении #858102 писал(а):

$$ \frac {d( r\cos{\varphi})} {dt} = \dot r \cos \varphi $$

Это ещё почему? $\dot\varphi$ потеряно.