2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти вероятность события (функция случайной величины)
Сообщение30.04.2014, 19:05 


29/04/14
139
Не могу додуматься до правильного ответа. Помогите пожалуйста.

Условие задачи
Есть окружность радиуса $R$.
На эту окружность падает точка $P$. Положение точки $P$ на окружности подчиняется равномерному распределению.
От точки $P$ парралельно осям проводятся хорды, от концов этих хорд проводятся еще хорды (также паралельно осям) таким образом, что хорды образуют прямоугольник, вписанный в окружность радиуса $P$.
В эту окружность падает точка $Q$ (ее падение также подчинено равномерному распределению).
Найти вероятность того, что точка $Q$ окажется внтури прямоугольника, образованного хордами, начинающимися из точки $P$.
Надеюсь понятно описал.


Попытка решения
Перейдем к полярным координатам, чтобы было легче выражать площадь прямоугольника через угол $\varphi$
$x = R \cdot \cos \varphi  $
$y = R \cdot \sin \varphi  $
$ S_p = 4xy = 2 R^2 \sin 2 \varphi  $
$ S_o = \pi R^2  $

Вероятность пытался найти как
$$ 8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4  }  \frac{S_p}{S_o} d\varphi =  8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4  }   \frac{2 R^2 \sin 2 \varphi}{\pi R^2  }   d\varphi       =  \frac{8}{\pi} (-\cos  2\varphi ) \Big|_{0}^{\pi/4}  =    \frac{8}{\pi}     $$

Однако смущает то, что вероятность получается больше чем 1.
Меня также смущает то, что я никак не учитываю закон распределения попадания точки $P$ на окружность.
В этой связи мне очень хочется разделить ответ на $\frac{1}{2\pi R}$. Однако не могу обосновать толково это действие.
Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вероятность события (функция случайной величины)
Сообщение30.04.2014, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Какова вероятность того, что точка упадёт между $\varphi$ и $\varphi+d\varphi$? Задумайтесь над этим. Помочь Вам может такое простое соображение, что проинтегрировав это по всему диапазону, получим точно 1: ведь куда-нибудь же она точно попадёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вероятность события (функция случайной величины)
Сообщение01.05.2014, 06:23 


29/04/14
139
Вероятность, что точка упадет между $\varphi $ и $\varphi + d \varphi$ , согласно закону равномерного распределения, $ \frac{d \varphi}{2 \pi} $.

То есть в приведенном выше интеграле

$8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4  }  \frac{S_p}{S_o} d\varphi =  8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4  }   \frac{2 R^2 \sin 2 \varphi}{\pi R^2  }   d\varphi  $

нужно при попадании в каждый элементарный участок $d\varphi$, учитывать вероятность, с которой точка $P$ попадает в этот элементарный участок. A данная вероятность равна $ \frac{d \varphi}{2 \pi} $.

Таким образом, насколько я понял, мы получим следующий интеграл:

$ \frac{8}{2\pi} \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4  }  \frac{S_p}{S_o} d\varphi =  \frac{8}{2\pi} \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4  }   \frac{2 R^2 \sin 2 \varphi}{\pi R^2  }   d\varphi   =  \frac{4}{\pi^2}   $


Верно ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вероятность события (функция случайной величины)
Сообщение01.05.2014, 07:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
По-моему, теперь всё так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вероятность события (функция случайной величины)
Сообщение01.05.2014, 22:50 


29/04/14
139
Спасибо большое!

А можете пояснить, пожалуйста, почему мы так делаем? Почему мы умножаем вероятность события (попадание точки в $d \varphi$) на некоторую величину, зависящую от этого события ? Ну то есть я понимаю это действие, когда мы находиим матожидание случайной величины. Но почему мы так делаем здесь ?
Что мы получаем вообще в общем случае, когда мы умножаем вероятность события на "значение" события ?
Есть ли у этого действия какой то "физический" смысл? (если можно так выразиться, конечно)

Заранее благодарен.
Очень рад, что есть такой форум, как этот, где тебе по-настоящему могут помочь. Спасибо создателям.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group