Найти вероятность события (функция случайной величины)

[xolodec]

Не могу додуматься до правильного ответа. Помогите пожалуйста.

Условие задачи
Есть окружность радиуса $R$.
На эту окружность падает точка $P$. Положение точки $P$ на окружности подчиняется равномерному распределению.
От точки $P$ парралельно осям проводятся хорды, от концов этих хорд проводятся еще хорды (также паралельно осям) таким образом, что хорды образуют прямоугольник, вписанный в окружность радиуса $P$.
В эту окружность падает точка $Q$ (ее падение также подчинено равномерному распределению).
Найти вероятность того, что точка $Q$ окажется внтури прямоугольника, образованного хордами, начинающимися из точки $P$.
Надеюсь понятно описал.


Попытка решения
Перейдем к полярным координатам, чтобы было легче выражать площадь прямоугольника через угол $\varphi$
$x = R \cdot \cos \varphi $
$y = R \cdot \sin \varphi $
$ S_p = 4xy = 2 R^2 \sin 2 \varphi $
$ S_o = \pi R^2 $

Вероятность пытался найти как

$$ 8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4 } \frac{S_p}{S_o} d\varphi = 8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4 } \frac{2 R^2 \sin 2 \varphi}{\pi R^2 } d\varphi = \frac{8}{\pi} (-\cos 2\varphi ) \Big|_{0}^{\pi/4} = \frac{8}{\pi} $$

Однако смущает то, что вероятность получается больше чем 1.
Меня также смущает то, что я никак не учитываю закон распределения попадания точки $P$ на окружность.
В этой связи мне очень хочется разделить ответ на $\frac{1}{2\pi R}$. Однако не могу обосновать толково это действие.
Помогите пожалуйста.

[ИСН]

Какова вероятность того, что точка упадёт между $\varphi$ и $\varphi+d\varphi$? Задумайтесь над этим. Помочь Вам может такое простое соображение, что проинтегрировав это по всему диапазону, получим точно 1: ведь куда-нибудь же она точно попадёт.

[xolodec]

Вероятность, что точка упадет между $\varphi $ и $\varphi + d \varphi$ , согласно закону равномерного распределения, $ \frac{d \varphi}{2 \pi} $.

То есть в приведенном выше интеграле

$8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4 } \frac{S_p}{S_o} d\varphi = 8 \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4 } \frac{2 R^2 \sin 2 \varphi}{\pi R^2 } d\varphi $

нужно при попадании в каждый элементарный участок $d\varphi$, учитывать вероятность, с которой точка $P$ попадает в этот элементарный участок. A данная вероятность равна $ \frac{d \varphi}{2 \pi} $.

Таким образом, насколько я понял, мы получим следующий интеграл:

$ \frac{8}{2\pi} \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4 } \frac{S_p}{S_o} d\varphi = \frac{8}{2\pi} \cdot \int\limits_{0}^{\pi /4 } \frac{2 R^2 \sin 2 \varphi}{\pi R^2 } d\varphi = \frac{4}{\pi^2} $

Верно ?

[ИСН]

По-моему, теперь всё так.

[xolodec]

Спасибо большое!

А можете пояснить, пожалуйста, почему мы так делаем? Почему мы умножаем вероятность события (попадание точки в $d \varphi$) на некоторую величину, зависящую от этого события ? Ну то есть я понимаю это действие, когда мы находиим матожидание случайной величины. Но почему мы так делаем здесь ?
Что мы получаем вообще в общем случае, когда мы умножаем вероятность события на "значение" события ?
Есть ли у этого действия какой то "физический" смысл? (если можно так выразиться, конечно)

Заранее благодарен.
Очень рад, что есть такой форум, как этот, где тебе по-настоящему могут помочь. Спасибо создателям.