Тензоры

[fronnya]

А что если бы не было тензоров? Можно ли записывать современные уравнения (например уравнения ОТО) , используя не тензорный анализ, а что-то другое?

[Nirowulf]

Современные уравнения должны быть лоренц-инвариантными, что означает инвариантность при преобразованиях Лоренца т.е. относительно группы Лоренца(а на самом деле группы Пуанкаре, так как добавлены трансляции)

Поэтому величины, входящие в эти уравнения, должны преобразоваться по конечномерным представлениям такой группы. А такие представления делятся на две категории: однозначные и двузначные. Первые это тензорные и псевдотензорные представления, вторые $-$ спинорные.

ОТО лучше пока не трогать, там всё чуть сложнее, допустимые преобразования расширены до т.н. общековариантных.

fronnya в сообщении #857465 писал(а):

Можно ли записывать современные уравнения (например уравнения ОТО) , используя не тензорный анализ, а что-то другое?

Уравнения Максвелла, к примеру, можно написать в спинорной форме.

[Oleg Zubelevich]

уравнения физики (любые) не зависят от систем координат , в которых их записывают. Отсюда и понятие тензор.

[iifat]

Таки добавлю: тензор — это не благо, данное нам богом. Это математическая конструкция, придуманная математиками для облегчения себе работы. Каждый тензор имеет определение в, естественно, других терминах. Как интегрировать и суммировать ряды умели до знаков интеграла и суммы, так и современные уравнения, буде у кого вскочит где-нить такое желание, можно, разумеется, записать хоть без тензоров, хоть вообще римскими числами.

[npduel]

iifat в сообщении #857520 писал(а):

современные уравнения, буде у кого вскочит где-нить такое желание, можно, разумеется, записать хоть без тензоров, хоть вообще римскими числами.

Уравнения Максвелла Г.Герц записал в лоренц-инвариантном виде без использования тензоров, и большинство специалистов до сих пор пользуются ими именно в этом виде.

[Oleg Zubelevich]

npduel в сообщении #857600 писал(а):

Уравнения Максвелла Г.Герц записал в лоренц-инвариантном виде без использования тензоров, и большинство специалистов до сих пор пользуются ими именно в этом виде.

а векторы это разве не тензоры? дивиргенции там всякие градиенты

[Munin]

fronnya в сообщении #857465 писал(а):

А что если бы не было тензоров? Можно ли записывать современные уравнения (например уравнения ОТО) , используя не тензорный анализ, а что-то другое?

"Если бы тензоров не было, их пришлось бы придумать".

По сути, не важно, как это называть, уравнения одни и те же. Но записывать их можно в разной форме, и тензорная - самая удобная. Тензоры, по сути, придумали именно для удобной и компактной записи именно таких уравнений.

[npduel]

Oleg Zubelevich в сообщении #857621 писал(а):

а векторы это разве не тензоры? дивиргенции там всякие градиенты

Спасибо за уточнение. Конечно, я имел в виду, что специалисты предпочитают представлять э.м. поле трёхмерными векторами и скалярами (тоже тензорами).

[Munin]

npduel в сообщении #857600 писал(а):

Уравнения Максвелла Г.Герц записал в лоренц-инвариантном виде без использования тензоров, и большинство специалистов до сих пор пользуются ими именно в этом виде.

Здесь всё неверно: и запись Герца не лоренц-инвариантна, и тензоры там используются (как указал Oleg Zubelevich), и наконец, большинство специалистов пользуются записью не Герца, а Хевисайда.

[npduel]

Oleg Zubelevich в сообщении #857621 писал(а):

а векторы это разве не тензоры? дивиргенции там всякие градиенты

Кроме того, во избежание недоразумений, считаю нужным уточнить, что я имел в виду не тупиковые изыскания Герца по инвариантности к преобразованиям Галилея, а те лоренц-инвариантные уравнения Герца, которые Эйнштейн в статье "К электродинамике движущихся тел" назвал уравнениями Максвелла-Герца.

[Munin]

npduel в сообщении #857733 писал(а):

а те лоренц-инвариантные уравнения Герца, которые Эйнштейн в статье "К электродинамике движущихся тел" назвал уравнениями Максвелла-Герца.

И которые принадлежат попросту Максвеллу, без малейшего участия Герца.

И как можно называть "уравнениями Герца" те уравнения, которые ни Герц не писал, ни Эйнштейн (посторонний человек) "уравнениями Герца" не называл, это вообще непонятно. Не то что тут каких-то недоразумений можно избежать, а это полный бред.

[iifat]

Oleg Zubelevich в сообщении #857621 писал(а):

а векторы это разве не тензоры?

С появлением тензоров и вектора, и линейные функции, и метрики и даже просто числа — всё стало тензорами Но это таки не отменяет того факта, что до тензоров учёные как-то ухитрялись писать свои формулы.

[bocharov]

Oleg Zubelevich в сообщении #857621 писал(а):

а векторы это разве не тензоры? дивиргенции там всякие градиенты

Для удобства вычислений линейных векторных функций вводится понятие "диада",как конечная сумма диадных произведений.Использование этого понятия в теории упругости получило название "тензора"(от лат. натягивать,напрягать),далее использовалось по "инерции".

[Munin]

iifat в сообщении #857744 писал(а):

Но это таки не отменяет того факта, что до тензоров учёные как-то ухитрялись писать свои формулы.

Которые были тензорными. Пусть даже и записанными в неудобочитаемом виде.

Максвелл, например, написал векторные уравнения. Но в компонентах. Векторы придумали позже.

-- 01.05.2014 21:17:21 --

bocharov в сообщении #857747 писал(а):

Для удобства вычислений линейных векторных функций вводится понятие "диада",как конечная сумма диадных произведений.Использование этого понятия в теории упругости получило название "тензора"(от лат. натягивать,напрягать),далее использовалось по "инерции".

В общем, это началось-то с "диад", но сейчас понятие тензора подразумевает произвольный ранг, а не только 2. Ссылаться здесь на происхождение понятия - столь же осмысленно, как постоянно напоминать, что sinus по-латыни - это "пазуха".

[iifat]

Munin в сообщении #857748 писал(а):

Максвелл, например, написал векторные уравнения. Но в компонентах. Векторы придумали позже.

Скатываемся в бессмысленный терминологический поиск блох, имхо. И таки повторюсь: $x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ — это к примеру, не векторная формула. Векторной она станет, если переписать её векторно: $\vec x\cdot\vec y$. Хотя смысл, разумеется, тот же.