Функции случайной величины

[randy]

Дана функция распределения $F_{X} (t) =1-exp(-2t)$, при $t \geqslant 0$ и $F_{X} (t) =0$, при $t<0$. Требуется найти $F_{Y} (v)$ и $f_{Y} (v)$, если $Y=\frac {2}{X}$

Решение - при $v<0$ $D_v=(x: \frac {2}{x}<v)=0$, следовательно $F_Y (v)=0$ и $f_Y (v)=0$
при $v>0$ $D_v=(x: \frac {2}{x}<v)=(x: \frac {2}{v}<x)$
значит $F_Y (v)= P(\frac {2}{x}<v)=P(\frac {2}{v}<x)=F_X(\frac {2}{v})$
Эта часть верна?

[Otta]

randy

randy в сообщении #857604 писал(а):

значит $F_Y (v)= P(\frac {2}{x}<v)=P(\frac {2}{v}<x)=F_x(\frac {2}{v})$

Запись ужасна совершенно. Вся, с головы до ног.
Вы как вероятность неслучайного события искать собираетесь? $x$ и $v$ - это числа.
Пишите случайные величины в нужных местах.

[randy]

Otta в сообщении #857606 писал(а):

randy

randy в сообщении #857604 писал(а):

значит $F_Y (v)= P(\frac {2}{x}<v)=P(\frac {2}{v}<x)=F_x(\frac {2}{v})$

Вы как вероятность неслучайного события искать собираетесь?

в условии дана система для $F_X (t)$, нужно от нее перейти к системе $F_X (\frac {2}{v})$ - это будет функция распределения $F_Y (v)$

[Otta]

Определение $F_Y (v)$ напишите пожалуйста.

[randy]

$F_Y (v)=\int_{D_v} f_X (t) dt$

[Otta]

Определение, не надо через плотность писать. Плотность не у всех с.в. есть.

[randy]

Ну тогда $F_Y (v)=P(Y<v)$

[Otta]

Ага. Вот сюда и подставляйте, чему равно $Y$ и пишите цепочку из неравенств и равенств вероятностей.
Тут случайная величина уже есть и запись обрела смысл.

[randy]

При $v<0$ $F_Y (v)=P(\frac {2}{X}<v)=0$
При $v>0$ $F_Y (v)=P(\frac {2}{X}<v)$?
$X=\frac {2}{v}$

[Otta]

Вы между $x$ и $X$ действительно видите лишь номинальную разницу?

[randy]

$x$ - множество начений
$X$ - сама случайная величина

[Otta]

randy в сообщении #857624 писал(а):

$X=\frac {2}{v}$

Вы действительно уверены, что Ваша случайная величина - функция не на пространстве элементарных исходов $X(\omega)$, а на $\mathbb R$?

Почитайте уже методичку, что ли.
Может, Вам рассказывали другой способ. Но сильно похоже, что их было два, и Вам даже показалось, что Вы что-то из них поняли.

[randy]

Может все таки имеет смысл воспользоваться формулой $F_Y (v)=\int_{D_v} f_X (t) dt$, ведь $f_X (t)$ - это производная от заданного в условии $F_X (t)$?

[Otta]

Пользуйтесь. Пока Вы ею неправильно воспользовались.

[randy]

все равно не могу понять, как выражать $D_v$. По определению - это множество значений $x$ случайной величины $X$, для которых $y=g(x)<v$. Как я понимаю, это множество нужно выражать из условия $v>0$? Нужно выражать из $\frac {2}{X}<v$ неравенство на $x$, и это неравенство будет являться граничными условиями при интегрировании