Интегральная теорема Коши

[Otta]

(Оффтоп)

Да неправда Ваша.
Скажем, при вычислении интеграла по полупрямой возникает потребность смотреть, как ведут себя интегралы по участкам замкнутой кривой, созданной в этих целях. И доказывать, что интегралы по большинству из компонент контура стремятся к нулю. Оценкой, как правило. Но эта оценка (интеграла второго рода) сводится к вычислению интеграла первого рода, куда деваться.

Вычислительная часть? Вроде вычислительная.

Другое дело, что, как правило, точные значения этих интегралов в этой задаче не важны, а хватает хорошей оценки. Но иногда хорошая оценка совсем без интегрирования не получается.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #857082 писал(а):

Вычислительная часть? Вроде вычислительная.

Отнюдь. Вычислительная -- это собственно равенство интегралов по разным путям. А оценки -- всего лишь обосновательная.

Например, очевидно, что $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,dx$ сходится, причём условно. Сходимость следует, грубо говоря, из признака Лейбница, условность же, не менее грубо -- из того, что модуль синуса в среднем есть константа. Это, разумеется, никакое не доказательство, но это -- идейная часть, и в этом смысле вычислительная. Формально же обосновывать можно как угодно, но это уже лишь ловля блох, как бы вычислительно внешне она ни выглядела.

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

Окей, пусть обосновательная. Но необходимая.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #857096 писал(а):

Но необходимая.

Ну этого я и не отрицал.

[ex-math]

Нет, это Вы приведите пример. Конкретной неодносвязной области и конкретной функции, первообразная которой в этой области Вам понадобилась. И мы с Вами посмотрим что с этим нужно делать.

Все обобщения первообразной на неодносвязные области, если так можно выразиться, локально тривиальны. То есть какую-то общую теорему сформулировать трудно. Но в каждом случае вопрос решается просто. Возможные варианты:
1. Интеграл в неодносвязной области не зависит от пути (случай $1/z^2$). Тогда подойдет та же конструкция, что и в односвязной области.
2. Интеграл зависит от пути (случай $1/z$). Тогда либо область надо разрезать, сделав ее односвязной (так и выделяются однозначные ветви логарифма), либо рассматривать первообразную на римановой поверхности, снова используя обычную конструкцию для односвязной области.