О спиральности еще раз

[Name XXX]

Пусть есть некоторая безмассовая частица. С позиций Пуанкаре-симметрии она характеризуется вектором $|\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} $, и ее безмассовость выражается в том, что

$$ \hat {W}^{2}|\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = 0, \quad \hat {P}^{2}|\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = 0, $$

где $\hat {W}^{\mu}$ - оператор Любанского-Паули (его еще можно называть оператором 4-спина), $\hat {P}^{\mu}$ - оператор трансляций.
Так как, кроме того, $\hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu} = 0$, то

$$ \hat {W}_{\mu}|\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = \lambda \hat {P}_{\mu}|\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0}. $$

Сравнивая это равенство для нулевых компонент, несложно получить, что

$$ \frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf P})}{|\mathbf p|}|\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = \lambda |\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0}. $$

Тут $\hat {\mathbf S}$ - оператор 3-вектора спина.

Оператор $\frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf P})}{|\mathbf p|}$ называется оператором спиральности $\hat {h}$. Он ведет себя как скаляр по отношению к преобразованиям группы Лоренца. Спектр оператора спина дается, как обычно, целыми или полуцелыми числами.

Вопрос: можно ли из этого всего выудить, что спиральность может принимать лишь одно значение, равное (по модулю) максимальному собственному значению оператора спина? По идее, наличие лишь одного значения следует из того, что спиральность есть лоренц-инвариантом, потому действие группы Лоренца на $\hat {h}|\mathbf {p}, \lambda \rangle_{p^{2} = 0}$ дает новое состояние с преобразованным $p$, не меняя $\lambda$, чего бы не было при наличии нескольких значений спиральности. Однако можно ли отсюда же показать, что значение спиральности - максимальное собственное значение оператора проекции спина на направление движения? Один из вариантов был представлен тут (topic83430.html), но представлен он был лишь на словах.

Или нужно копаться с малой группой для светоподобного вектора 4-импульса?

[Munin]

(Оффтоп)

А чё такое лямбда?

[Name XXX]

Munin, в выражении $|p, \lambda\rangle$ - метка, которая идентифицирует безмассовое состояние. В выражении $\hat {h} |p, \lambda\rangle = \lambda |p, \lambda\rangle$ у нее появляется смысл проекции спина на направление движения.

[Nirowulf]

Name XXX
А вот это случаем не сможет вам помочь?



Боголюбов Логунов Оксак Тодоров "Общие принципы квантовой теории поля", часть 2, глава 7, раздел 7.2 "Унитарные представления собственной группы Пуанкаре".

Кусок на картинке из пункта Г этого раздела, из текста после упражнения 7.15. В издании 1987 года это стр. 260.

-- 24.04.2014, 03:03 --

(Оффтоп)

Munin
Более строгим языком: спиральность характеризует неприводимые представления некоторого класса представлений( соответствующих безмассовым частицам с положительной энергией) спинорной группы Пуанкаре с точностью до унитарной эквивалентности.

По формуле для спиральности её можно определить и для классов представлений, соответствующих массивных частицам, но лишь для безмассовых частиц спиральность является релятивистским инвариантом.

[Name XXX]

Nirowulf, к несчастью, нет.

[Nirowulf]

Name XXX
Жаль. Мне казалось, слова "частица имеет одно состояние поляризации" как раз означают, что всего одно собственное число.

[Name XXX]

Nirowulf, в принципе, Вы правы. Но утверждение про одно значение я, как оказалось, доказал в вопросе. А осталось утверждение про "максимальность" значения. Оно, по-видимому, имеет смысл лишь тогда, когда есть утверждение про безмассовое представление как предел массивного (см. мой первый вопрос про спиральность), а я не уверен, что оно имеет место быть.

[Nirowulf]

Name XXX в сообщении #856364 писал(а):

Оно, по-видимому, имеет смысл лишь тогда, когда есть утверждение про безмассовое представление как предел массивного (см. мой первый вопрос про спиральность), а я не уверен, что оно имеет место быть.

В общем случае, как разъяснил fizeg в первой теме, не имеет места.

Для дираковского поля, к примеру, работает. См. Пескин-Шредер, часть 1, глава 3, пункт 3.3 "Решения уравнения Дирака для свободных частиц". Формулы $(3.52), (3.53)$ и $(3.54).$

Особую пикантность вопрос о спиральности приобретает в свете последних событий.