Задача про бактерии.

[ОЛЬГА1313]

Задача: В некоторый нулевой момент времени в центре прямоугольной системы координат Oxyz находится бактерия. Через одну минуту она делится на 6 таких же бактерий, которые перемещаются в разные стороны на единицу длины параллельно одной из осей. Такое превращение происходит каждую минуту с каждой бактерией. Если в какой-то момент времени в одной точке окажется 2 бактерии или больше, они мгновенно взаимоуничтожаются. Сколько бактерий существует в момент времени 2000 минут, сразу после взаимоуничтожения в этот момент времени?

[Capella]

Ээээ, скорее всего надо будет составлять дифференциальное уравнение.
$ b(t) $ количество бактерий ко времени t
$ \frac {d( b(t))} {d t} $ изменение бактерий за единицу времени (у Вас дискретный случай, изменение за минуту)
Теперь предполагаем следующее: изменение числа бактерий за минуту времени пропоцианально количеству бактерий! Отсюда получаем:
$ \frac {d(b(t))} {dt} = a * b(t) $-
$ a $ является пропорциональной константой (естественный прирост бактерий, может быть негативным). Эта константа на самом деле, скоре всего, будет не константой, а функцией, которая будет зависеть от концентрации бактерий.
Вообще можно задать и так: $ 1 - \frac {b(t)} c $, где с у Вас количество свободных клеток для тех бактерий, которые находятся "внутри" шара роста (то есть определяет пространство для максимального количества бактерий)...
Подумайте теперь сами, как Вам лучше задать все эти функции и константы (используя начальные условия и то, что дано по задаче) и после этого получите диффур первого порядка.

[Аурелиано Буэндиа]

Есть идея решения. Я для простоты рассмотрел одноменую задачу, когда бактерии рождаются и живут на оси $x$.
Первая бактерия находилась в $x=0$.
Легко показать, что через $2^n$ минут в живых будет только 2-е бактерии и находиться они будут в точках $x=-2^n$ и $x=2^n$.
Следующий шаг нужно показать, что через
$2^{n_1}+2^{n_2}+...+2^{n_N}$ минут в живых будет $2^N$ бактерий. Здесь $n_1,... ,n_N$ натуральные числа.
И последний шаг: $2000=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4$, поэтому
в живых останется $2^6$ бактерий.
Обобщить на 3-х мерных бактерий не составляет труда.

[Capella]

ЗдОрово, Аурелиано! Действительно надо было считать изначально по дискретному случаю. Правда в школе, я тоже решала такии задачи про размножение кроликов и там нам вводились первые диффуры. Правда кролики не бегали по прямым и не уничтожали друг друга, но у них была смертность и рождаемость (кстати потом в зависимости от места - мы их разводили на острове с ограниченым количеством пищи)

[Аурелиано Буэндиа]

Capella писал(а):

Правда кролики не бегали по прямым и не уничтожали друг друга, но у них была смертность и рождаемость (кстати потом в зависимости от места - мы их разводили на острове с ограниченым количеством пищи)

Ты наверно имеешь в виду модель Лотки-Вольтерра

[Capella]

В общем я учила это тогда под названием "рост популяции". Там можно вводить много условий, в том числе лис, популяция кролиов будет зависеть от популяции лис, популяция лис от популяции кроликов (например если лисы поедают всех кроликов, то наступает момент, когда всем лисам начинает не хватать еды, их популящия сокращается, но за счёт этого снова начинает расти популяция кроликов). В итоге ищется модель относительной стабилизации. Можно составлять интересные диффуры.
Кстати, в случае с бактериями происходит нечто подобное, хотя здесь не будет синусоидального (или спирального) развития...

[ОЛЬГА1313]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Есть идея решения. Я для простоты рассмотрел одноменую задачу, когда бактерии рождаются и живут на оси $x$.
Первая бактерия находилась в $x=0$.
Легко показать, что через $2^n$ минут в живых будет только 2-е бактерии и находиться они будут в точках $x=-2^n$ и $x=2^n$.
Следующий шаг нужно показать, что через
$2^{n_1}+2^{n_2}+...+2^{n_N}$ минут в живых будет $2^N$ бактерий. Здесь $n_1,... ,n_N$ натуральные числа.
И последний шаг: $2000=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4$, поэтому
в живых останется $2^6$ бактерий.
Обобщить на 3-х мерных бактерий не составляет труда.

А какким образом обобщить? У меня ступор какой-то с этой задачей вышел...

[Capella]

А Вы сделайте сначала тогда в 2 мерном пространстве и как только увидите, как функционирует там и разницу с одномерным, то трёхмерное будет уже совсем легко.

[Аурелиано Буэндиа]

ОЛЬГА1313 писал(а):

А какким образом обобщить? У меня ступор какой-то с этой задачей вышел...

Я сильно не думал, но подозреваю, что в $d$-мерном пространстве должно быть так:
через $2^n$ минут $2d$ бактерий, а
через $2^{n_1}+...+2^{n_N}$ минут ??? бактерий.
Удачи!

[ОЛЬГА1313]

Большое спасибо!