Объясните по-простому, что такое группа SO(4)

[aei]

Встречается в физических текстах. Знаю только то, что буквы SO - это сокращение от "Special Orthogonal", а 4 - показатель размерности пространства.

Что означают слова о том, что это группа вращений в четырехмерном пространстве?

[kp9r4d]

Группа вращений — это максимальная группа линейных преобразований, сохраняющих длину вектора и ориентацию.
А группа вращений в трёхмерном пространстве вас не пугает или тоже непонятно?

[aei]

И в трехмерном непонятно. И в двумерном.

Группа - это вообще число, количество чего-то, или это просто лейбл, указатель на какой-то определенный тип симметрии?

[Ms-dos4]

aei
Группа - это множество с некоторой бинарной операцией $\[(a,b) \to ab\]$, причём выполняются следующие три свойства
1)Ассоциативность $\[\forall a,b,c \in G:(ab)c \to a(bc)\]$
2)Существование нейтрального элемента $\[\exists e \in G\]$ $\[\forall x \in G:xe = ex = x$
3)Наличие обратного элемента $\[\forall x \in G\]$ $\[\exists {x^{ - 1}} \in G:x{x^{ - 1}} = {x^{ - 1}}x = e\]$

Вам следует почитать например Винберга

[aei]

Нет материала по приложению к физике? (А не учебник алгебры.)

-- 28.04.2014, 08:14 --

То есть, если для данного множества постулировать некоторую операцию для любых двух его элементов, и если при проверке все три свойства будут удовлетворяться, то в этом множестве найдена соответствующая группа, да?

Ms-dos4, вы сказали про группу. А конкретно $SO(4)$ это что такое?

[kp9r4d]

aei
Это множество всех вращений пространства вокруг начала координат. $SO(2)$ — это множество всех поворотов плоскости вокруг начала координат.

[Munin]

aei в сообщении #856117 писал(а):

Нет материала по приложению к физике? (А не учебник алгебры.)

Есть очень хорошее и короткое изложение в учебнике Рубакова "Классические калибровочные поля". Это глава 3.

-- 28.04.2014 11:53:19 --

Допустим, мы имеем 3-мерное пространство действительных векторов $v=(x,y,z),\quad x,y,z,\in\mathbb{R}.$ Существуют линейные (однородные) преобразования этого пространства, задаваемые матрицами:

$$v'=Av\qquad\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\qquad v'_{i}=\sum_{j=1}^{3}a_{ij}v_{j}.$$

Эти преобразования оставляют на месте точку $0=(0,0,0),$ а в остальном вертят пространство, сжимают, перекашивают, иногда сплющивают в плоскость или прямую - по-разному, только преобразуют прямые в прямые (иногда сжимая их в точки), и сохраняют пропорции отрезков вдоль одной прямой.

(Замечу в скобках)

(Замечу в скобках, что бывают линейные неоднородные преобразования, задаваемые

$$v'=Av+v_0\qquad\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}\qquad v'_{i}=\sum_{j=1}^{3}a_{ij}v_{j}+(v_0)_{i},$$
которые и точку 0 перемещают в произвольное место, но они нас сейчас не интересуют. Дальше везде "линейные" означает "линейные однородные".)

Матрицы можно перемножать обычным способом, который получается, если за определение принять
$(AB)v=A(Bv)\quad\forall v.$ Из умножения следует определение обратной матрицы $A^{-1}$: $AA^{-1}=A^{-1}A=E,$ где $E=\operaorname{diag}(1,1,1)$ - единичная матрица, матрица, на диагонали которой стоят 1, а в остальных элементах 0, такая матрица действует как единица при умножении матриц: $AE=EA=A.$ Иногда единичную матрицу обозначают 1.
----------------
Матрицы можно транспонировать обычным способом (менять местами элементы, симметричные между собой относительно диагонали), если за определение принять $(A^{\mathrm{T}}v,w)=(v,Aw)\quad\forall v,w,$ где $(v,w)$ - обычное скалярное произведение векторов. Определитель матрицы $\det A$ можно определить как объём параллелепипеда, получающегося после действия матрицы на единичный куб, построенный на векторах $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),$ причём если ориентация тройки векторов меняется на обратную, объём считается со знаком "минус".

Геометрический вопрос.
Какие матрицы соответствуют движениям евклидового пространства, то есть таким преобразованиям, которые преобразуют любую фигуру в равную ей фигуру, в частности, любой треугольник - в равный треугольник, с равными сторонами и углами?
Ответ.
Это будут ортогональные матрицы, то есть матрицы, обладающие свойством

$$O^{\mathrm{T}}=O^{-1},\quad\text{или иначе},\quad O^{\mathrm{T}}O=OO^{\mathrm{T}}=E.$$

Доказательство: Такая матрица сохраняет скалярное произведение, то есть, $(Ov,Ow)=(O^{\mathrm{T}}Ov,w)=(v,w).$ Таким образом, при преобразовании треугольника, сохраняются длины его сторон $l=\sqrt{(v,v)}$ и углы $\alpha=\arccos\bigl(\tfrac{(v,w)}{\sqrt{(v,v)}\sqrt{(w,w)}}\bigr),$ а это значит, что сохраняется и сам треугольник. Любую геометрическую фигуру можно задать множеством треугольников (возможно, бесконечным), и если все они превращаются в равные треугольники, то и фигура превращается в равную фигуру.

Примечание: Такие преобразования будут всегда преобразованиями, сохраняющими положение точки 0, то есть, вращениями вокруг оси, зеркальными отражениями в плоскости, вращениями с отражениями, и в частности, инверсией. Все эти преобразования называются ортогональными преобразованиями. Все оси и плоскости проходят через точку 0, центр инверсии находится в точке 0. Из этих преобразований, вращения сохраняют ориентацию пространства, а отражения и инверсии - меняют на противоположную, и поэтому ортогональные матрицы имеют $\det O=\pm 1.$ Собственными ортогональными преобразованиями называются такие, что $\det O=1,$ и из всех возможных движений они осуществляют только вращения.

Матрицы с ненулевым определителем образуют группу (в смысле, указанном Ms-dos4). В этой группе ортогональные матрицы образуют подгруппу, а собственные ортогональные матрицы - подгруппу этой подгруппы. Аксиомы группы выполняются, остаётся проверить, что групповая операция (умножение матриц) не выводит за пределы подгруппы. Геометрически это очевидно (несколько вращений подряд образуют в результате вращение), а алгебраически

$$\begin{gathered}(O_1O_2)^{\mathrm{T}}=O_2^{\mathrm{T}}O_1^{\mathrm{T}}=O_2^{-1}O_1^{-1}=(O_1O_2)^{-1}\\\det(O_1O_2)=\det O_1\det O_2=1\cdot 1=1.\end{gathered}$$

[ratay]

Человек-то просил попроще, а вы все
по-умному.

[Joker_vD]

ratay
Смысл объяснения в том, чтобы поднять спрашивающего "вверх", а не опустить разъясняемое "вниз".

[Munin]

Группа матриц с ненулевым определителем, размера $n\times n,$ обозначается $GL(n,R).$ Группа ортогональных матриц обозначается $O(n).$ Группа собственных ортогональных матриц - $SO(n).$ (Комплексные аналоги этих групп обозначаются $GL(n,C),U(n),SU(n).$)

Можем выписать в явном виде группы $SO(1)$ и $SO(2).$ В $SO(1)$ единственный элемент - единичная матрица $(1).$ В $SO(2)$ матрицы поворота плоскости вокруг начала координат на произвольный угол:

$$\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$$

Проверьте вручную, что они поворачивают каждый вектор $(x,y)$ на угол $\varphi$ против часовой стрелки (в положительном направлении).

Матрицы группы $SO(3)$ (и вообще $SO(n)$) тоже можно выписать явно, но получаются довольно громоздкие формулы. Кроме того, конкретные формулы неоднозначны: можно выбирать разные формулы при одном и том же результате. Например, трёхмерные вращения часто описывают тремя углами Эйлера. Три параметра возникают из-за того, что нужно задать угол вращения (1 параметр) и направление оси вращения (ещё 2 параметра, "широта" и "долгота"). Вообще, в $n$-мерном пространстве вращение задаётся $n(n-1)/2$ параметрами, например, в 4-мерном - 6 параметрами. Для иллюстрации приведу матрицы вращения вокруг осей координат 3-мерного пространства:

$$\begin{gathered}x\colon\qquad\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\varphi&-\sin\varphi\\0&\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}\\y\colon\qquad\begin{pmatrix}\cos\varphi&0&\sin\varphi\\0&1&0\\-\sin\varphi&0&\cos\varphi\end{pmatrix}\\z\colon\qquad\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\\sin\varphi&\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}.\end{gathered}$$

Произведения нескольких таких матриц позволяют получить любую матрицу $SO(3)$ (причём можно использовать всего 3 матрицы).

[Corund]

(Оффтоп)

ratay в сообщении #856182 писал(а):

Человек-то просил попроще, а вы все
по-умному.

Так тут гораздо проще и объяснено, чем в том же Рубакове - там нужно все-таки иметь некоторую подготовку.

[ratay]

Согласен. Просто тут народ потрепаться собирается,
а не куски из учебников переписывать.

[Munin]

Группы и симметрии.
Симметрия - это ситуация, когда какой-то объект похож на самого себя. Объект может быть самой разной природы, например, множество точек (сюда относятся все симметрии геометрических фигур), или уравнение (здесь подразумевается симметричность геометрических фигур, описывающих это уравнение, например, множества решений). Математически симметрию описывают с помощью операций. Если мы берём операцию $\operatorname{Op},$ то на несимметричный объект она действует так, что объект меняется: $N'=\operatorname{Op}N\ne N,$ а на симметричный объект - так, что он не меняется: $\operatorname{Op}S=S.$ Это можно считать определением симметрии.

Если имеется какое-то множество операций симметрии объекта, то оно образует группу (см. аксиомы группы в сообщении Ms-dos4). В физике часто наиболее важна структура этой группы, а то, как конкретно элементы этой группы действуют на объект, становится и так очевидно. Группы в математике принято отождествлять с точностью до изоморфизма, так что все симметрии одинакового типа (с группой одинаковой структуры) называются одной группой (иногда уточняют, когда одна группа может на один объект действовать по-разному).

Например, зеркальная симметрия описывается группой $\mathbb{Z}/2$ - это группа целых чисел $\{0,1\}$ с операцией сложения по $\mod 2.$ Такой же группой описывается центральная симметрия. Поворотная симметрия порядка $n$ описывается группой $\mathbb{Z}/n.$ В физике большую роль играют менее привычные в повседневной жизни симметрии. Например, у забора и железной дороги есть сдвиговая симметрия с группой $\mathbb{Z}.$ Многие симметрии в физике непрерывны, то есть задаются не элементом из дискретного множества, а плавно меняющимися параметрами (или параметрами + дискретными элементами). Симметрия прямой линии (непрерывная сдвиговая) может быть описана группой $\mathbb{R}.$ Симметрия круга может быть описана группой $O(2).$

Поскольку многие "хорошо известные" в математике группы имеют установленные обозначения (или могут быть собраны из таких обозначений простыми операциями), то в некотором смысле, указание группы симметрии - это действительно "лейбл", указание на определённый тип симметрии.

-- 28.04.2014 12:40:13 --

ratay в сообщении #856200 писал(а):

Просто тут народ потрепаться собирается, а не куски из учебников переписывать.

Не высказывайтесь за "народ", тем более что вы новичок на этом форуме (и до сих пор не научились писать в строчку).

"Потрепаться" народ собирается в разделах типа "Свободный полёт". А в тематических разделах - трёп побочное явление, а не основное. А переписывать куски из учебников - как раз вполне уважаемое занятие (если поможет другому человеку). Будете мешать - станете объектом внимания модераторов.

-- 28.04.2014 13:15:53 --

Группы симметрий в физике.
Симметрии в физике часто относятся к таким абстрактным вещам, как уравнения и законы природы. Впервые значение этих симметрий стало заметно в начале 20 века:

Специальная теория относительности (1905) утверждает, что все законы природы подчиняются группам симметрии 4-мерного пространства-времени - группе Лоренца $SO(1,3)$ и группе Пуанкаре (группа Лоренца + сдвиги начала координат). Специальную теорию относительности открыли, когда заметили, что уравнения Максвелла подчиняются группе Лоренца (и на самом деле, более широкой группе), а уравнения механики Ньютона - несовместимой с ней группе Галилея. Оказалось возможно немного изменить уравнения механики, чтобы они подчинялись группе Лоренца. С тех пор открыто много других законов природы (квантовая механика и иные взаимодействия), и все они подчиняются группам Лоренца и Пуанкаре.

Теорема Нётер (1918) утверждает, что с каждой симметрией физических систем и уравнений движения связана сохраняющаяся величина. Например, со сдвиговой симметрией в пространстве связан закон сохранения импульса, а со сдвиговой симметрией по времени - закон сохранения энергии. Однородность времени выглядит более естественным и фундаментальным свойством, чем сохранение энергии, и поэтому физики переориентировались с поиска законов сохранения "вручную" на поиск симметрий, и вычисление из них законов сохранения.

В середине 20 века, в 50-е - 60-е годы, в физике элементарных частиц наступило, наконец, современное понимание симметрий. Свойства и законы элементарных частиц, всевозможные "квантовые числа" и законы сохранения, оказались проявлением разных симметрий, лежащих в фундаменте природы - в законах волновых функций, пространства-времени и квантовых полей. Некоторые из этих симметрий - порождают "периодическую таблицу элементарных частиц", а некоторые - порождают сами законы, например, электромагнитное взаимодействие, цветовое взаимодействие между кварками, объединённое электро-слабое взаимодействие. Названия этих симметрий известны физикам наизусть. См., например,
Окунь. Физика элементарных частиц.

[Someone]

А.В.Шубников, В.А.Копцик. Симметрия в науке и искусстве. "Наука", Москва, 1972.

Дж.Эллиот, П.Добер. Симметрия в физике. Том первый. Основные принципы и простые приложения. "Мир", Москва, 1983.
Дж.Эллиот, П.Добер. Симметрия в физике. Том второй. Дальнейшие приложения. "Мир", Москва, 1983.

В.П.Визгин. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в физике. "Наука", Москва, 1972.

Первая книга для меня выглядит как смесь популярного изложения (с множеством иллюстраций) и математического подхода. Двухтомник явно предназначен для специалистов, хотя сейчас, видимо, несколько устарел. Последняя книга — исторического характера, хотя и с формулами; доходит до теорем Нётер.

[Munin]

Someone
Расскажите подробнее про двухтомник.