Плотность распределения

[randy]

Плотность распределения имеет вид $f(x)=ax^2e^{-kx}$, где $k>0$, $x \in [0;\infty)$
Требуется найти постоянную $a$
По свойству плотности распределения $\int_0^{\infty} ax^2e^{-kx}dx=1$. А что с переменной $k$ делать?

[Otta]

Ничего.

[randy]

Otta в сообщении #855690 писал(а):

Ничего.

значит другим способом искать постоянную?

[Otta]

Других нет. Чем Вам мешает буковка $k$? Интегрировать не дает?

PS Кстати, да. Дифференциал-то в конце кто не написал?

[ewert]

randy в сообщении #855689 писал(а):

По свойству плотности распределения $\int_0^{\infty} ax^2e^{-kx}=1$. А что с переменной $k$ делать?

И прежде всего потому ничего, что это пока ещё не интеграл.

[randy]

то есть $a$ и записывать не числом, а выражением, содержащим $k$? И чтобы найти, например, моду, нужно взять производную?

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Какая же каша

[Otta]

Да, конечно, для разных $k\;\;$ $a$ может быть разным.

randy в сообщении #855710 писал(а):

И чтобы найти, например, моду, нужно взять производную?

А как Вы ищете моду, если параметра нет? Ну, пусть $k=2$. И?

[randy]

а с функцией распределения как тут быть? по свойствам при стремлении икса к $-\infty$ функция распределения должна идти в ноль, при стремлении к $\infty$ функция должна идти в единицу. а в задании дана плотность распределения только для промежутка $[0;\infty)$ в теории нужно разбить плотность распределения на отрезки и от них брать интеграл, для получения функции распределения. но как быть, когда плотность дана не для всей числовой прямой, а только от нуля до бесконечности?

[Otta]

Традиционно плотность указывается только на носителе, т.е. там, где она не указана, она нулевая.
Вам это нужно было понимать еще при решении стартового задания, иначе ничем невозможно оправдать тот факт, что Вы интегрируете плотность не по всей числовой прямой.
Да, и судя по уровню задания, уже давно нужно было понимать.

[randy]

Выходит, что на промежутке (бесконечность; ноль) $F(x)=\int_x^0 0 dx=0$, а на промежутке [ноль; бесконечность) $F(x)=\int_0^x \frac {k^3x^2e^{-kx}}{2}dx$?

[Otta]

randy в сообщении #855738 писал(а):

на промежутке (бесконечность; ноль) $F(x)=\int_x^0 0 dx=0$,

Не выходит.
Чему равна функция распределения? Как считать?
И не пишите под интегралом ту же переменную, что и в пределах интегрирования.

[randy]

плотность распределения - это производная от функции распределения. в обратную сторону, соответственно, интегрирование.
плотность распределения на промежутке $(-\infty;0)$ равна нулю, поэтому и считаем, как я написал выше

[Otta]

Так какая формула-то? Общий случай, пожалста.

[randy]

$F(x)=\int f(x) dx$