Векторное пространство.

[provincialka]

arseniiv, так ведь элементами поля у него являются степенные функции. При фиксированном $x$ множество $\{x^\alpha\}$ изоморфно множеству $\mathbb R$. Например, $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\cdot\beta}$. Другое дело, непонятно, что делать, если $x$ переменное. Вообще какое-то непонятное описание.

[arseniiv]

А, проглядел.

[patzer2097]

provincialka в сообщении #854895 писал(а):

Другое дело, непонятно, что делать, если $x$ переменное.

все точно так же, сумма функций $x^p$ и $x^q$ в смысле ТС равна $x^p\,x^q=x^{p+q}$, а их проиведение - $\left(x^p\right)^q=x^{pq}$. то есть, набор степенных функций с операциями ТС изоморфен полю $\mathrm{R}$. ну и остальные аксиомы линейного пространства тоже несложно проверить

но понимать ТС трудно

[hassword]

provincialka в сообщении #854851 писал(а):

hassword вы, видимо, не хотите с нами разговаривать. Нет никакого "векторного произведения" в определении векторного пространства. Кроме того, векторы и элементы поля - объекты, вообще говоря, разной природы и из умножения одних не следует умножение других.
Посмотрите хотя бы здесь

ну не обязательно называть это векторным произведением.Это просто для наглядности умножения на скаляр.

[arseniiv]

Для какой наглядности? Векторное произведение — это операция $V\times V\to V$, на-скалярное — $K\times V\to V$, и в общем случае друг с другом никак не связанные.

Тем более, зачем вообще городить огород, когда у вас, вроде, векторное пространство над самим собой — такое для любого поля будет, если только есть поле.

[patzer2097]

arseniiv в сообщении #854955 писал(а):

у вас, вроде, векторное пространство над самим собой

как я понял, у ТС пространство всех функций над полем степенных функций с его новыми операциями

[hassword]

arseniiv в сообщении #854955 писал(а):

Для какой наглядности? Векторное произведение — это операция $V\times V\to V$, на-скалярное — $K\times V\to V$, и в общем случае друг с другом никак не связанные.

это одна и та же операция только при разных ситуациях.
Что вы имеете виду когда говорите что"в общем случае друг с другом никак не связанные"
можно рассматривать только вектора (функции не являющиеся степенными)

[svv]

hassword в сообщении #854976 писал(а):

это одна и та же операция только при разных ситуациях.

Ну, допустим, даже и так. В конце концов, всё существующее есть лишь проекции абсолюта. Но в ситуации, когда эта операция применяется к скаляру и вектору, векторным произведением её не называют, этот термин зарезервирован для очень специальной разновидности умножения двух векторов.

[arseniiv]

hassword в сообщении #854976 писал(а):

это одна и та же операция только при разных ситуациях.

Тогда должно бы хватить поля. Остальное автоматически.

[hassword]

arseniiv в сообщении #854989 писал(а):

Но в ситуации, когда эта операция применяется к скаляру и вектору, векторным произведением её не называют, этот термин зарезервирован для очень специальной разновидности умножения двух векторов.

а это уже интересно

arseniiv в сообщении #854989 писал(а):

Тогда должно бы хватить поля. Остальное автоматически.

так здесь кажется еще и вектора рассматривают с композицией функций.

[arseniiv]

hassword в сообщении #854993 писал(а):

так здесь кажется еще и вектора рассматривают с композицией функций.

Не распарсилось…

Кстати, вы неудачно сцитировали, первая цитата принадлежит svv.

[svv]

hassword в сообщении #854993 писал(а):

а это уже интересно

Мне хотелось бы, чтобы Вы поняли: даже не любое произведение двух векторов называют векторным произведением. Существует скалярное произведение двух векторов, тензорное произведение двух векторов, а векторное существует ещё и не во всяком векторном пространстве. В любом случае оно не имеет отношения к неотъемлемой принадлежности любого векторного пространства: операции умножения вектора на скаляр, дающей вектор.

[Otta]

patzer2097 в сообщении #854939 писал(а):

ну и остальные аксиомы линейного пространства тоже несложно проверить

Там вообще-то нигде не упоминается, что элементами векторного пространства тоже будут степенные функции. Иначе нет смысла устраивать проверку аксиом векторного пространства, достаточно проверить, что поле.

hassword
Какие именно функции являются векторами - все, только степенные, еще как-то?
Далее. Одно дело, как определено сложение и умножение (скаляров) в поле - и совершенно другое, как определять сложение векторов и умножение векторов на скаляр. Ваши определения чего именно касаются?

[patzer2097]

Otta в сообщении #855022 писал(а):

patzer2097 в сообщении #854939 писал(а):

ну и остальные аксиомы линейного пространства тоже несложно проверить

Там вообще-то нигде не упоминается, что элементами векторного пространства тоже будут степенные функции.

я понимаю. я говорю также о случае, когда векторы - любые функции, а скаляры - степенные

[Otta]

patzer2097
Я догадываюсь, что Вы понимаете. А вот ТС, похоже, нет.

И два, но уже не Вам: как-то неудобно у нас "любые функции" "складывать". Вот чтобы именно любые. Нам, однако, абелева группа по такому сложению нужна.