Вычислить сумму (производящие функции...)

[Vir]

Помогите посчитать

$C_n^0 + 2 C ^1 _n + 3 C_n^2 + ... + (n + 1) C_n^n $

[Андрей123]

$C_n^0 + 2 C ^1 _n + 3 C_n^2 + ... + (n + 1) C_n^n=2^n+( C ^1 _n + 2 C_n^2 + ... + n C_n^n) $ Дальше Вам поможет рассмотрение функции $(1+x)^n$

[Руст]

проще сразу представить это как производную от $x(1+x)^n$ в точке х=1.

[Vir]

я вот с этим покрутил, но что-то не понял как это?

[Brukvalub]

\[ x(1 + x)^n = \sum\limits_{m = 0}^n {C_n^m x^{m + 1} } \Rightarrow (x(1 + x)^n )' = \sum\limits_{m = 0}^n {C_n^m (x^{m + 1} } )' = \sum\limits_{m = 0}^n {(m + 1)} C_n^m x^m \]

[Vir]

У меня теперь такой вопрос: к чему вообще я должен придти, а то с такими заданиями я ещё не сталкивался и не пойму какая цель, т.е. каков результат. Помогите. Заранее благодарен.

[PAV]

Результатом должна быть простая формула, выражающая ответ, и не содержащая суммирования по $n$. Т.е. число арифметических операций фиксировано и от $n$ не зависит. Как, например, формула суммирования арифметической програссии $1+2+\cdots+n = n(n+1)/2$

[Vir]

Всем спасибо за помощь. Проверьте, пожалуйсто, результат, если не так помогите довести.
$2^n(n/2+1)

Добавлено спустя 5 минут 21 секунду:

Намекните, пожалуйста, ещё. К своему сожалению я вообще не умею решать такого плана примеры. В чём специфика, есть ли стандартный приём, или только нужно крутить?

$C_n^2+2C_n^3+3C_n^4+...+(n-1)C_n^n=

[Henrylee]

Vir писал(а):

Намекните, пожалуйста, ещё. К своему сожалению я вообще не умею решать такого плана примеры. В чём специфика, есть ли стандартный приём, или только нужно крутить?

$C_n^2+2C_n^3+3C_n^4+...+(n-1)C_n^n=

Да точно так же:
Рассмотрите производную

$$ x^{-1}(1+x)^n $$

в точке $x=1$.