Остатки от деления.

[boriska]

Почему сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9, как и остаток от деления суммы остатков этих чисел при делении на 9?

То есть пусть $\dfrac{a}{9}=k\cdot l+r_1$ и $\dfrac{b}{9}=m\cdot n+r_2$, из этого должно следовать $\dfrac{r_1+r_2}{9}=i\cdot j +r_3$, где $k,l,m,n,i,j$ -- целые числа, а $r_1,r_2,r_3$ --остатки от деления. Как это доказать? Предполагаю, что это следует из этого утверждения (доказательство которого понимаю):
Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

[SpBTimes]

А что, только на 9?

[boriska]

SpBTimes в сообщении #854814 писал(а):

А что, только на 9?

Может и не только на 9, но хотелось бы доказать хотя бы в этом частном случае попробовать, если это не очень сложно....

[SpBTimes]

Запишите, что $a = kq_1 + r_1, b = kq_2 + r_2$ и посмотрите сумму

[provincialka]

Вы условие на остаток неверно записали.

boriska в сообщении #854806 писал(а):

пусть $\dfrac{a}{9}=k\cdot l+r_1$ и $\dfrac{b}{9}=m\cdot n+r_2$,

Надо так: $a=9k+r_1,b =9l+r_2$. А теперь сами сделайте вывод о сумме $a+b$.

boriska в сообщении #854806 писал(а):

Предполагаю, что это следует из этого утверждения (доказательство которого понимаю):
Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

Да нет, это не важно. Ведь в исходном свойстве вместо девятки можно взять любое число.

[boriska]

SpBTimes в сообщении #854830 писал(а):

Запишите, что $a = kq_1 + r_1, b = kq_2 + r_2$ и посмотрите сумму

Спасибо!

$a+b=kq_1 + r_1+kq_2 + r_2=k(q_1+q_2)+r_1+r_2$

Так как $k(q_1+q_2)$ делится нацело на $k$, то остатки от деления $a+b$ на $k$ и $r_1+r_2$ на $k$ равны.

А это и доказывает утверждение:? Верно ли это?

[SpBTimes]

Да

[boriska]

SpBTimes в сообщении #854847 писал(а):

Да

Спасибо!