Поверхность
![$(x^2+y^2)^2+z^4=x$ $(x^2+y^2)^2+z^4=x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/d/c3de3f184b6ffc36d38e77468d41cdbf82.png)
из вида уравнения заключил, что
![$x\geqslant0$ $x\geqslant0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/e/16ec0409f1984a409d9269f04711298982.png)
Дальше рассудил так, что область симметрична относительно плоскости Oxy, так как при подстановке
![$-z_0$ $-z_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/e/a4ebbc8680bec5fb9c4a9169a4f66b6682.png)
и
![$z_0$ $z_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/a/d1a81d9dc6dd30e43ba27c5490a34a3282.png)
получу одинаковые значения для x и у. Отсюда считаю, что если считать тройной интеграл по исходной области
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
, то он равен двум интегралам по области
![$D_1$ $D_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/4/eb4779c5fded13881cb5f169b1f10c7382.png)
, где то же уравнение, но ещё добавляем
![$z\geqslant0$ $z\geqslant0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/5/72548c165353aee21a599c33c112f08c82.png)
.
Аналогично рассудил для плоскости Oxz, поэтому исходный интеграл представляю как четыре интеграла по области, заданной уравнением в октанте
![$x\geqslant0, y\geqslant0, z\geqslant0$ $x\geqslant0, y\geqslant0, z\geqslant0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/a/7aa773a0cfd08c213954381aecb52a9682.png)
Делаю обобщённую сферическую замену
![$x = r\cos\varphi(\cos\vartheta)^\frac12$ $x = r\cos\varphi(\cos\vartheta)^\frac12$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/e/66ed39d338387c70918ee7ad0feeae5582.png)
![$y = r\sin\varphi(\cos\vartheta)^\frac12$ $y = r\sin\varphi(\cos\vartheta)^\frac12$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/5/885994ac5ef3b248b7a500453bef3b3e82.png)
![$z = r(\sin\vartheta)^\frac12$ $z = r(\sin\vartheta)^\frac12$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/8/468661fc6886254049f64682dbaf267e82.png)
при этом
![$0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}; 0\leqslant\vartheta\leqslant\frac{\pi}{2}$ $0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}; 0\leqslant\vartheta\leqslant\frac{\pi}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/d/2fd79e6a78fb2cdbaf35bf3c72dc2d3182.png)
подставляя в уравнение получаю
![$r = (\cos\varphi)^\frac13(\cos\vartheta)^\frac16$ $r = (\cos\varphi)^\frac13(\cos\vartheta)^\frac16$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/0/140d61a2dd7930634fca0bf98306e31e82.png)
считая интеграл, получил
![$\frac{2\sqrt2\pi}{3}$ $\frac{2\sqrt2\pi}{3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/3/bc392783282348838478fb53dbd5ad1882.png)
, что в два раза больше, чем написано в ответах к этой задаче.
Прошу помочь найти ошибку в суждениях. Вычисление интеграла проверяю, не нахожу, думаю, что где-то в предположениях о симметрии.