Система дифференциальных уравнений

[skill]

Помогите разобраться со следующей задачей:

$$ \begin{cases} \frac {dy_1} {dx} = y_2\\ \\ \frac {dy_2} {dx} = 2y_1+x\\ \end{cases} $$

Если решать выражая один через другой, можно ли так?

$$ \begin{cases} y''_1 = y'_2\\ \\ y''_1 = 2y_1+x\\ \end{cases} $$

И как дальше?

[provincialka]

А дальше последнее уравнение - линейное с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

[skill]

Решая последнее уравнение, в общем виде получаем $y_1 = C_1e^{\sqrt 2 x} + C_2e^{-\sqrt 2 x}$

А как быть с $y_2$ из первого уравнения системы? Как его решать?

[provincialka]

1. Нет, не получаем. Проверьте.
2. Первое уравнение решается дифференцированием. Конечно, в первоначальном виде.

[svv]

skill в сообщении #854574 писал(а):

в общем виде получаем $y_1 = C_1e^{\sqrt 2 x} + C_2e^{-\sqrt 2 x}$

Это у Вас только общее решение однородного уравнения $y_1''=2y_1$, т.е. лишь этап решения неоднородного уравнения $y_1''=2y_1+x$.

[skill]

Тогда, если учитывая специальную правую часть, ответ должен быть таким?
$y_1 = C_1e^{\sqrt 2 x} + C_2e^{-\sqrt 2 x} - \frac 1 2 x$

[svv]

Да. Если Вам надо срочно проверить решение ночью, когда все спят, подставьте его в уравнение. Удовлетворяет — значит, это решение.

[mihailm]

Теперь продифференцируйте $y_1$ и получите $y_2$

[skill]

Спасибо большое. С этим разобрался.

С Вашего позволения, еще вопрос. Надо эту же систему

$$\begin{cases} y'_1 = y_2\\ y'_2 = 2y_1+x\\ \end{cases}$$

при $y_1(0) = 0.2, y_2(0) = 0.3$ решить методом Рунге-Кутта 4 порядка:

$ y'=f(x,y), \qquad y(x_0)=y_0.\\$

Приближенное значение в последующих точках:
$ y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\\ k_1 = f \left( x_n, y_n \right), \\ k_2 = f \left( x_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_1 \right), \\ k_3 = f \left( x_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_2 \right), \\ k_4 = f \left( x_n + h, y_n + h\ k_3 \right).$

При этом надо ли систему уравнений как-либо изменить или выразить уравнения? Дайте наводку, пожалуйста.

[ewert]

skill в сообщении #854684 писал(а):

При этом надо ли систему уравнений как-либо изменить или выразить уравнения?

Надо просто каждую строчку удвоить, интерпретировав исходную систему как одно векторное уравнение.

[skill]

А без преобразования в векторное уравнение никак?

Для системы из двух уравнений метод Рунге-Кутта имеет вид:
$ y'(x) = f(x,y,z)\\ z'(x) = g(x,y,z)\\ y(x_0) = y_0\\ z(x_0) = z_0\\ \\ y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\\ z_{n+1} = z_n + {h \over 6} (q_1 + 2q_2 + 2q_3 + q_4)\\ k_1 = f \left( x_n, y_n, z_n \right) \\ q_1 =g \left( x_n, y_n, z_n \right) \\ $
и т.д., остальные коэффициенты находятся аналогично.

Тогда можно ли проинтегрировав правую часть второго уравнения изменить систему так?
$\begin{cases} y'_1 = 2y_1x+\frac 1 2 x^2\\ y'_2 = 2y_1 + x\\ \end{cases}$
Или не надо изменять систему?