Матричное тождество.

[vlad_light]

Пусть $\mathbf A\in Mat _{n\times n}(\mathbb R), \mathbf x\in \mathbb R^n$ -- вектор-столбец. Правильно ли я посчитал, что

$$\frac {\partial }{\partial \mathbf x}\mathbf x^T\mathbf A\mathbf x=(\operatorname{diag}(\mathbf A) + \mathbf A)\mathbf x\quad ?$$

[Brukvalub]

А частная производная по вектору - это производная в направлении этого вектора?...

[vlad_light]

Это градиент

[Brukvalub]

Проверьте на матрице 2Х2. У меня Ваша формула не получилась.

[vlad_light]

А так

$$\frac {\partial }{\partial \mathbf x}\mathbf x^T\mathbf A\mathbf x=(\mathbf A + \mathbf A^T)\mathbf x\quad ?$$

[svv]

А так правильно.
Я бы только считал градиентом $f(\mathbf x)$ вектор-строку (и тогда ответ $\mathbf x^T(A+A^T)$), чтобы произведение её на произвольный вектор $\mathbf y$ давало производную $f(\mathbf x)$ по направлению вектора $\mathbf y$ без всяких транспонирований, но согласен и с таким вариантом.

[vlad_light]

Спасибо!
Мне это нужно было вот для чего: пусть $\beta \in \mathbb R^n$ и $\xi =(\xi _1,...,\xi _n)^T$ - вектор из случайных величин. Тогда

$$\frac {\partial }{\partial \beta }[D(\beta ^T \xi )]=\frac {\partial }{\partial \beta }[\beta ^TD\xi \beta ]=(D\xi + (D\xi )^T)\beta =2D\xi \beta $$

Я верно рассуждаю?

[ewert]

vlad_light в сообщении #854043 писал(а):

Я верно рассуждаю?

Нет. Т.е. как минимум совершенно неверно записываете. У Вас какая-то совершенно дикая смесь из дисперсий и матриц ковариации.

[vlad_light]

ewert в сообщении #854046 писал(а):

У Вас какая-то совершенно дикая смесь из дисперсий и матриц ковариации.

Можно, пожалуйста, по-подробнее? Я полагаю $D\xi := \operatorname {cov}(\xi )$. Правильно считать $D\xi := \operatorname{diag}(\operatorname{cov}(\xi))$? И кроме обозначений, что неверно?

[ewert]

vlad_light в сообщении #854055 писал(а):

$D\xi := \operatorname {cov}(\xi )$.

Допустим. Но тогда что бы могла означать матрица ковариаций скаляра ("$D(\beta ^T \xi)$") ?...

[vlad_light]

ewert в сообщении #854063 писал(а):

Но тогда что бы могла означать матрица ковариаций скаляра ("$D(\beta ^T \xi)$") ?...

Это случайная величина. Её ковариационная матрица равна дисперсии по определению: пусть $\beta ^T\xi =:\psi$ - случайная величина. Тогда $\operatorname{cov}(\psi )=E(\psi \psi ^T)-E\psi E\psi ^T=E\psi ^2 - (E\psi )^2=D\psi$
Возник ещё один вопрос: если $\mathbf A=\mathbf x\mathbf y^T$, можно ли выписать $\mathbf A^{-1}$ в терминах $\mathbf A, \mathbf x, \mathbf y$?

[svv]

vlad_light в сообщении #854067 писал(а):

Возник ещё один вопрос: если $\mathbf A=\mathbf x\mathbf y^T$, можно ли выписать $\mathbf A^{-1}$ в терминах $\mathbf A, \mathbf x, \mathbf y$?

Нет, потому что такая матрица будет не то что вырожденной, её ранг будет $1$.