2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение22.04.2014, 17:51 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, вырулить в решении такой задачи:
<< Построить формулу $L_{4}^{(IV)}(x)$ для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$ по пяти близлежащим узлам $x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_i - x_{i-1} = h$ . Каков порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?
$L_n(x)$ - полином Лагранжа, приближение функции $f(x)$ >>

Для начала найдём $L_4(x)$:
$L_4(x) = f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)(x_0-x_4)}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_4-x_0)(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)}$

Т.к. $x_i - x_{i-1} = h$, то

$L_4(x) = f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(-h)(-2h)(-3h)(-4h)}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(h)(-h)(-2h)(-3h)}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{(2h)(h)(-h)(-2h)}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{(3h)(2h)(h)(-h)}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(4h)(3h)(2h)(h)}=$
$= f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{24h^4}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{-6h^4}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{4h^4}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{-6h^4}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{24h^4}$

Как быть дальше? Можно ещё что-то упростить перед взятием производной?
Как искать порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение22.04.2014, 18:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Для начала выпишите многочлен в форме не Лагранжа, а Ньютона через конечные разности. Сделав предварительно замену переменной $x=x_0+t\cdot h$ (а ещё лучше $x=x_2+t\cdot h$ и многочлен в форме Гаусса) -- сразу как-то очень резко полегчает. В любом случае порядок точности, согласно теории, второй (с учётом симметрии).

-- Вт апр 22, 2014 19:10:21 --

Да, чуть не забыл. Строить эту формулу, конечно, не надо -- надо сразу написать, что это просто $\dfrac{\Delta^4f}{h^4}$ и ни о чём больше не думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение22.04.2014, 18:10 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Т.е. лучше воспользоваться формулой Гаусса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение22.04.2014, 18:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Лучше вообще никакой формулой не пользоваться. У Вас степень многочлена равна порядку производной и, следовательно, эта производная постоянна. Ну а отношение конечной разности к степени шага для любой функции равна соответствующей производной (в общем случае -- в некоторой промежуточной точке).

Вот если бы порядок производной был меньше, чем степень многочлена -- тогда да, тогда этот многочлен пришлось бы строить честно; и удобнее всего, да, в форме Гаусса. Но если Гаусса лень, то и стандартная ньютоновская форма вполне сошла бы, просто поковыряться пришлось бы раза в два дольше (с соответствующим увеличением вероятности ошибиться).

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение22.04.2014, 18:24 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
DigitChar в сообщении #853077 писал(а):
$= f_0 \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{24h^4}+f_1 \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{-6h^4}+f_2 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)}{4h^4}+f_3 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)}{-6h^4}+f_4 \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{24h^4}$
Как быть дальше? Можно ещё что-то упростить перед взятием производной?
Коль уж Вы эту формулу написали, можете брать четвертую производную. Это просто: четвертая производная полинома $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ равна $24$ независимо ни от точки $x$, ни от $x_1,x_2,x_3,x_4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение22.04.2014, 18:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
svv в сообщении #853086 писал(а):
, можете брать четвертую производную. Это просто:

Да, просто. Однако это был, судя по всему, вопрос из какого-то теста. Тест же (если он нормальный тест) никаких вычислений не предполагает, а предполагает знание теории и мгновенный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение23.04.2014, 13:23 
Аватара пользователя


12/03/13
30
С учётом этого:
svv в сообщении #853086 писал(а):
четвертая производная полинома $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ равна $24$ независимо ни от точки $x$, ни от $x_1,x_2,x_3,x_4$.

получается такая формула:

$L^{(IV)}_4(x) = f_0 \frac{24}{24h^4} - f_1 \frac{24}{6h^4} + f_2 \frac{24}{4h^4} - f_3 \frac{24}{6h^4} + f_4 \frac{24}{24h^4} = \frac{f_0 - 4f_1 + 6f_2 - 4f_3 + f_4}{h^4}$

Похоже на правду т.к. формула симметричная и сумма коэффициентов при $f_1,...,f_4$ равна нулю.

-- 23.04.2014, 21:42 --

Помогите, пожалуйста, со вторым вопросом: как определить порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?

-- 23.04.2014, 22:19 --

DigitChar в сообщении #853077 писал(а):
Построить формулу $L_{4}^{(IV)}(x)$ для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$

Выше найден $L_{4}^{(IV)}(x)$, он должен иметь какое-то отношение к узлу $x_2$? Каким образом формула для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$ будет отличаться от аналогичных формул в других узлах? В чём особенность построения формулы производной функции для конкретного узла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение23.04.2014, 20:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
DigitChar в сообщении #853357 писал(а):
Выше найден $L_{4}^{(IV)}(x)$, он должен иметь какое-то отношение к узлу $x_2$?

Не должен. Т.е. будет иметь ровно такое же, как и ко всем остальным узлам. Ибо он констант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение23.04.2014, 21:31 


05/09/12
2587
Присоединяюсь к вопросу ТС о точности. Пребываю в убеждении, что четвертая производная, вычисленная в точке $x_2$ по точкам $x_0 - x_4$ будет точнее, чем по точкам $x_1 - x_5$, а последняя точнее, чем по точкам $x_2 - x_6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение23.04.2014, 22:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
_Ivana в сообщении #853545 писал(а):
Пребываю в убеждении, что четвертая производная, вычисленная в точке $x_2$ по точкам $x_0 - x_4$ будет точнее, чем по точкам $x_1 - x_5$, а последняя точнее, чем по точкам $x_2 - x_6$

Первое убеждение верно, второе же -- практически нет (там далее порядок одинаков, масштаб же при фиксированном порядке особо так практического значения не имеет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное дифф. Построить формулу для вычисления f''''(x)
Сообщение24.04.2014, 10:48 
Аватара пользователя


12/03/13
30
ewert в сообщении #853525 писал(а):
DigitChar в сообщении #853357
писал(а):
Выше найден $L_{4}^{(IV)}(x)$, он должен иметь какое-то отношение к узлу $x_2$?
Не должен. Т.е. будет иметь ровно такое же, как и ко всем остальным узлам. Ибо он констант.

Спасибо, ewert.

К тому же полученная формула симметричная
DigitChar в сообщении #853357 писал(а):
$L^{(IV)}_4(x) = f_0 \frac{24}{24h^4} - f_1 \frac{24}{6h^4} + f_2 \frac{24}{4h^4} - f_3 \frac{24}{6h^4} + f_4 \frac{24}{24h^4} = \frac{f_0 - 4f_1 + 6f_2 - 4f_3 + f_4}{h^4}$

и найти нужно формулу для вычисления $f^{(IV)}(x_2)$, где узел $x_2$ центральный из пяти данных.

-- 24.04.2014, 19:27 --

С первой частью задания понятно, спасибо всем :-)

Но остаётся второй вопрос: как определить порядок погрешности аппроксимации в узле $x_2$?

ewert в сообщении #853080 писал(а):
В любом случае порядок точности, согласно теории, второй (с учётом симметрии)

Имеется в виду, что центральная конечная разность имеет второй порядок аппроксимации? Или здесь ни при чём конечные разности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group