Доказать независимость случайных величин

[denest]

Задача такая:

Цитата:

Пусть $\xi_1$ и $\xi_2$ – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами 0 и 1 каждая. Доказать, что величины $\eta_1 = \xi_1 - \xi_2$ и $\eta_2 = \xi_1 + \xi_2$ независимы.

Я пытаюсь её решить в лоб по определению, т. е. ищу $P(\eta_1 < x; \eta_2 < y)$ – это получается $F(\frac{x+y}2) F(\frac{x-y}2)$, потом $P(\eta_1 < x), тут приходится заменять переменные в двойном интеграле, и аналогично $P(\eta_2 < y), но если приравнять получившиеся значения, то получается не пойми что...

Может быть есть какое-то совсем простое решение?

[ИСН]

Простое - указывает на круговую симметрию функции $e^{-x^2-y^2}$. Но оно вовсе не просто.